(a) Determine a matriz do operador T: P_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow P_{2}(\mathbb{R}) dado por T(p(x))=p^{\prime}(x), em relação às bases B=C=\left\{1, x, x^{2}\right\}.
(b) Determine, caso existam, os autovalores e autovetores da matriz obtida no ítem anterior.

Passo 1

O enunciado fornece:
  • Um operador linear T: P_{2}(\mathbb{R}) \to P_{2}(\mathbb{R}) definido por T(p(x))=p'(x) (derivada de p).
  • As bases B=C=\{1,x,x^{2}\} para o espaço P_{2}(\mathbb{R}).
    O que é pedido:
    (a) Determinar a matriz de T em relação às bases B e C.
    (b) Determinar, se existirem, os autovalores e autovetores da matriz obtida.

Passo 2

Lembrete prático sobre representação matricial: para uma transformação linear T e uma base ordenada \{v_1,v_2,v_3\}, a matriz de T nessa base tem como j-ésima coluna as coordenadas de T(v_j) na mesma base. Ou seja, aplicar T em cada vetor da base, escrever o resultado como combinação linear dos vetores da base e colocar os coeficientes como coluna correspondente.

Passo 3

Calcular T sobre cada vetor da base:
T(1)=\frac{d}{dx}(1)=0,
T(x)=\frac{d}{dx}(x)=1,
T(x^{2})=\frac{d}{dx}(x^{2})=2x.

Passo 4

Escrever essas imagens como coordenadas na base B=\{1,x,x^{2}\}.
  • T(1)=0 corresponde ao vetor coordenado \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} (coeficientes para 1,x,x^{2}).
  • T(x)=1 corresponde a \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} porque 1 = 1\cdot 1 + 0\cdot x + 0\cdot x^{2}.
  • T(x^{2})=2x corresponde a \begin{pmatrix}0\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix} porque 2x = 0\cdot 1 + 2\cdot x + 0\cdot x^{2}.

Passo 5

Montar a matriz colocando essas coordenadas como colunas, na ordem dos vetores da base \{1,x,x^{2}\}:
[T]_{B}^{C}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Observação: a primeira coluna é T(1), a segunda é T(x) e a terceira é T(x^{2}).]

Passo 6

Definição e método para autovalores/autovetores: um autovalor \lambda satisfaz \det([T]-\lambda I)=0; um autovetor não-nulo v associado satisfaz [T]v=\lambda v. Para matrizes triangulares, os autovalores aparecem na diagonal.

Passo 7

A matriz [T]_{B}^{C} é estritamente triangular superior com todos os elementos da diagonal iguais a 0. Logo os autovalores são as entradas da diagonal, i.e., \lambda=0 com multiplicidade algébrica 3. O polinômio característico é
\chi(\lambda)=\lambda^{3}.

Passo 8

Encontrar os autovetores resolvendo [T]v=0 (já que \lambda=0):
Se v=\begin{pmatrix}a\\\ b\\\ c\end{pmatrix}, então
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\\ b\\\ c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b\\[4pt] 2c\\[4pt] 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Dessa igualdade obtemos b=0 e 2c=0\Rightarrow c=0; a fica livre. Portanto os vetores próprios são exatamente os múltiplos escalares de \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Interpretando no espaço de polinômios, isso significa que os autovetores (polinômios próprios) são os polinômios constantes p(x)=a ( a\neq 0). A multiplicidade geométrica do autovalor 0 é 1.]

Resposta

(a) [T]_{B}^{C}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
(b) autovalores: \lambda=0 (multiplicidade algébrica 3).
autovetores: todos os múltiplos de \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}, isto é, os polinômios constantes p(x)=a com a\neq0.]

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