Verifique se as transformações abaixo são (ou não) lineares.
T: M_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow M_{2}(\mathbb{R}) ; T(X)=X+A onde A=\left(\begin{array}{rr}1 & 1 \\\\ 0 & -1\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear (ou não) T definida em
T: M_{2}(\mathbb{R}) \to M_{2}(\mathbb{R}),\qquad T(X)=X+A,
onde
A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}.
O que se pede: verificar se a transformação T é linear ou não.
Informações que temos: a fórmula explícita de T (soma de uma matriz arbitrária X com a matriz fixa A) e o valor explícito de A.]

Passo 2

Lembrete (definição de linearidade) — isso é importante para a prova, então vamos devagar:
Uma transformação T entre espaços vetoriais é linear se, e somente se, satisfaz para todos X,Y\in M_{2}(\mathbb{R}) e todo escalar \alpha\in\mathbb{R} as duas propriedades:
T(X+Y)=T(X)+T(Y) \qquad\text{e}\qquad T(\alpha X)=\alpha\,T(X).
Uma consequência muito útil (e frequentemente usada como teste rápido) é que se T for linear então necessariamente
T(0)=0,
onde 0 é a matriz zero em M_{2}(\mathbb{R}). Vou explicar por que: pela propriedade de homogeneidade, para \alpha=0,
T(0\cdot X)=0\cdot T(X)\Rightarrow T(0)=0.
Portanto, se encontrarmos T(0)\neq 0 já podemos concluir que T não é linear — é um teste rápido e infalível.

Passo 3

Aplicando T à matriz zero (teste rápido):
T(0)=0+A=A.
Mas a matriz A dada é
A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}\neq \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Logo T(0)=A\neq 0. Pelo argumento do Passo 2, isso já mostra que T não pode ser linear.]

Passo 4

Para ficar totalmente claro (e para aprender a argumentar na prova), vamos também verificar diretamente as duas propriedades da definição e ver onde falham.
Teste de aditividade:
calcule T(X+Y) e compare com T(X)+T(Y). Para X,Y\in M_{2}(\mathbb{R}),
T(X+Y)=(X+Y)+A=X+Y+A,
enquanto
T(X)+T(Y)=(X+A)+(Y+A)=X+Y+2A.
Esses dois só coincidem se A=0. Como A\neq 0, a aditividade falha em geral.

Passo 5

Teste de homogeneidade (multiplicação por escalar):
calcule T(\alpha X) e compare com \alpha T(X). Para \alpha\in\mathbb{R} e X\in M_{2}(\mathbb{R}),
T(\alpha X)=\alpha X + A,
enquanto
\alpha T(X)=\alpha (X+A)=\alpha X + \alpha A.
Comparando, vemos que T(\alpha X)=\alpha T(X) exigiria A=\alpha A para todo \alpha, o que só pode acontecer se A=0. Como A\neq 0, a propriedade de homogeneidade também falha (por exemplo, para \alpha=2 claramente \alpha A\neq A).

Passo 6

Resumo didático: a transformação dada é uma translação no espaço vetorial M_{2}(\mathbb{R}) (soma de um vetor fixo A). Translações não preservam o ponto zero nem a homogeneidade, por isso não são lineares. Na prova, esse é um raciocínio padrão: qualquer transformação do tipo T(X)=X+A com A\neq 0 não é linear.

Passo 7

Um exemplo numérico rápido para fixar a intuição (opcional, mas bom para lembrar na prova): escolha X=0. Então
T(0)=A,\qquad T(0)+T(0)=A+A=2A,
logo T(0+0)\neq T(0)+T(0). Simples, direto e prova que a aditividade falha.

Resposta

T não é linear.

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