O que se pede: verificar se a transformação T é linear ou não.
Informações que temos: a fórmula explícita de T (soma de uma matriz arbitrária X com a matriz fixa A) e o valor explícito de A.]
Passo 2
Lembrete (definição de linearidade) — isso é importante para a prova, então vamos devagar:
Uma transformação T entre espaços vetoriais é linear se, e somente se, satisfaz para todos X,Y\in M_{2}(\mathbb{R}) e todo escalar \alpha\in\mathbb{R} as duas propriedades:
Logo T(0)=A\neq 0. Pelo argumento do Passo 2, isso já mostra que T não pode ser linear.]
Passo 4
Para ficar totalmente claro (e para aprender a argumentar na prova), vamos também verificar diretamente as duas propriedades da definição e ver onde falham.
Teste de aditividade:
calcule T(X+Y) e compare com T(X)+T(Y). Para X,Y\in M_{2}(\mathbb{R}),
T(X+Y)=(X+Y)+A=X+Y+A,
enquanto
T(X)+T(Y)=(X+A)+(Y+A)=X+Y+2A.
Esses dois só coincidem se A=0. Como A\neq 0, a aditividade falha em geral.
Passo 5
Teste de homogeneidade (multiplicação por escalar):
calcule T(\alpha X) e compare com \alpha T(X). Para \alpha\in\mathbb{R} e X\in M_{2}(\mathbb{R}),
T(\alpha X)=\alpha X + A,
enquanto
\alpha T(X)=\alpha (X+A)=\alpha X + \alpha A.
Comparando, vemos que T(\alpha X)=\alpha T(X) exigiria A=\alpha A para todo \alpha, o que só pode acontecer se A=0. Como A\neq 0, a propriedade de homogeneidade também falha (por exemplo, para \alpha=2 claramente \alpha A\neq A).
Passo 6
Resumo didático: a transformação dada é uma translação no espaço vetorial M_{2}(\mathbb{R}) (soma de um vetor fixo A). Translações não preservam o ponto zero nem a homogeneidade, por isso não são lineares. Na prova, esse é um raciocínio padrão: qualquer transformação do tipo T(X)=X+A com A\neq 0 não é linear.
Passo 7
Um exemplo numérico rápido para fixar a intuição (opcional, mas bom para lembrar na prova): escolha X=0. Então
T(0)=A,\qquad T(0)+T(0)=A+A=2A,
logo T(0+0)\neq T(0)+T(0). Simples, direto e prova que a aditividade falha.