Determine a matriz quadrada de ordem
tal que
, onde
é a matriz identidade.
Passo 1
O enunciado pede todas as matrizes
tais que
onde
é a matriz identidade
. O conteúdo envolve matrizes involutórias, isto é, matrizes cuja quadrado é a identidade.
Passo 2
Seja
Então
deve ser igual a
Isso gera o sistema de equações:
Passo 3
Das duas equações centrais segue
Logo há dois casos distintos:
(i) , o que força
e
.
(ii) .
(i)
(ii)
Passo 4
Caso (i):
e
.
As primeiras e últimas equações viram
As primeiras e últimas equações viram
Portanto
Passo 5
Caso (ii):
.
As condições restantes e
são equivalentes, pois
. Logo basta
As condições restantes
Isso dá a forma geral
com a condição
Resposta
Em suma, todas as matrizes
que satisfazem
são ou
ou