Determine a matriz quadrada de ordem 2 X tal que X^{2}=I_{2}, onde I é a matriz identidade.

Passo 1

O enunciado pede todas as matrizes X\in\mathbb{R}^{2\times2} tais que
X^2 = I_2,
onde I_2 é a matriz identidade 2\times2. O conteúdo envolve matrizes involutórias, isto é, matrizes cuja quadrado é a identidade.

Passo 2

Seja
X = \begin{pmatrix}a & b \\[6pt] c & d\end{pmatrix}.
Então
X^2 = \begin{pmatrix}a^2+bc & ab+bd \\[4pt] ca+dc & cb+d^2\end{pmatrix}
deve ser igual a
I_2 = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Isso gera o sistema de equações:
\begin{cases} a^2 + bc = 1,\\\ b\,(a+d)=0,\\\ c\,(a+d)=0,\\\ bc + d^2 = 1. \end{cases}]

Passo 3

Das duas equações centrais segue
b\,(a+d)=0 \quad\text{e}\quad c\,(a+d)=0.
Logo há dois casos distintos:
(i) a+d\neq0, o que força b=0 e c=0.
(ii) a+d=0.

Passo 4

Caso (i): b=0 e c=0.
As primeiras e últimas equações viram
a^2 = 1, \quad d^2 = 1.
Portanto
X = \begin{pmatrix}\pm1 & 0 \\[4pt] 0 & \pm1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Caso (ii): d = -a.
As condições restantes a^2+bc=1 e bc+d^2=1 são equivalentes, pois d^2=a^2. Logo basta
a^2 + bc = 1, \quad d=-a.
Isso dá a forma geral
X = \begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & -a\end{pmatrix}
com a condição
a^2 + bc = 1.]

Resposta

Em suma, todas as matrizes 2\times2 que satisfazem X^2=I_2 são ou
\begin{pmatrix}\pm1 & 0 \\[4pt] 0 & \pm1\end{pmatrix}
ou
\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & -a\end{pmatrix} \quad\text{com}\quad a^2 + bc = 1.]

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