Determine a matriz inversa de cada matriz abaixo:
B=\left[\begin{array}{ll}2 & 5 \\\\ 4 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a matriz inversa de
B = \begin{pmatrix}2 & 5 \\[4pt]4 & 3\end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é o cálculo da inversa de uma matriz 2\times2. Para isso, vamos precisar do determinante de B e usar a fórmula
B^{-1} = \frac{1}{\det(B)}\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt]-c & a\end{pmatrix}
quando B = \begin{pmatrix}a & b \\[4pt]c & d\end{pmatrix}.]

Passo 2

Calcular o determinante de B. Para uma matriz 2\times2,
\det(B) = a d - b c.
Aqui a=2, b=5, c=4, d=3, então
\det(B) = 2\cdot3 - 5\cdot4 = 6 - 20 = -14.

Passo 3

Verificar se \det(B)\neq0. Como \det(B) = -14 \neq 0, a matriz B é invertível e podemos aplicar a fórmula da inversa.

Passo 4

Escrever a matriz dos cofatores (adjunta transposta), ou seja,
\operatorname{adj}(B) = \begin{pmatrix}d & -b \\[4pt]-c & a\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & -5 \\[4pt]-4 & 2\end{pmatrix}.
Então
B^{-1} = \frac{1}{\det(B)}\,\operatorname{adj}(B) = \frac{1}{-14} \begin{pmatrix}3 & -5 \\[4pt]-4 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Distribuir o fator 1/(-14) e simplificar frações:
B^{-1} = \begin{pmatrix} -\tfrac{3}{14} & \tfrac{5}{14} \\[6pt] \tfrac{4}{14} & -\tfrac{2}{14} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac{3}{14} & \tfrac{5}{14} \\[4pt] \tfrac{2}{7} & -\tfrac{1}{7} \end{pmatrix}.]

Resposta

B^{-1} = \begin{pmatrix} -\tfrac{3}{14} & \tfrac{5}{14} \\[4pt] \tfrac{2}{7} & -\tfrac{1}{7} \end{pmatrix}.]

Exercícios relacionados