Prove que se
e
são comutativas, então vale as igualdades:
a)
b)
a)
b)
Passo 1
O enunciado considera duas matrizes quadradas
e
de mesma ordem
, tais que elas comutam, ou seja,
Queremos demonstrar duas fórmulas clássicas:
a)
b)
a)
b)
Passo 2
Para a parte (a), usamos diretamente a definição do quadrado de uma soma em matrizes:
Pela distributividade da multiplicação sobre a adição, obtemos
Passo 3
Como
e
comutam, temos
. Então na expressão acima
os dois termos do meio somam-se em
Logo
que era o que queríamos.
Passo 4
Para a parte (b), usamos o princípio da indução sobre o expoente
.
Base
:
logo vale para
.
Passo 5
Passo indutivo: suponha que para algum
já valha
Então
Agora agrupamos usando a comutatividade
:
Isso conclui o passo indutivo, e portanto por indução
Resposta
a)
b)
b)