Prove que se A=\left(a_{i j}\right)_{n \times m} e B=\left(b_{j k}\right)_{m \times p} são comutativas, então vale as igualdades:
a) (A+B)^{2}=A^{2}+2 A B+B^{2}
b) (A \cdot B)^{n}=A^{n} \cdot B^{n}

Passo 1

O enunciado considera duas matrizes quadradas A e B de mesma ordem n, tais que elas comutam, ou seja,
AB = BA.
Queremos demonstrar duas fórmulas clássicas:
a) \,(A+B)^{2}=A^{2}+2\,A\,B+B^{2}.
b) \,(A\,B)^{n}=A^{n}\,B^{n}.

Passo 2

Para a parte (a), usamos diretamente a definição do quadrado de uma soma em matrizes:
(A+B)^{2} \;=\;(A+B)\,(A+B).
Pela distributividade da multiplicação sobre a adição, obtemos
(A+B)(A+B) \;=\;A\,A \;+\;A\,B \;+\;B\,A \;+\;B\,B \;=\;A^{2} \;+\;A\,B \;+\;B\,A \;+\;B^{2}.

Passo 3

Como A e B comutam, temos B\,A = A\,B. Então na expressão acima
A^{2} + A\,B + B\,A + B^{2}
os dois termos do meio somam-se em
A\,B + B\,A = A\,B + A\,B = 2\,A\,B.
Logo
(A+B)^{2} = A^{2} + 2\,A\,B + B^{2},
que era o que queríamos.

Passo 4

Para a parte (b), usamos o princípio da indução sobre o expoente n.
Base n=1:
(AB)^{1} = AB = A^{1}B^{1},
logo vale para n=1.

Passo 5

Passo indutivo: suponha que para algum k\ge1 já valha
(AB)^{k} = A^{k}\,B^{k}.
Então
(AB)^{k+1} = (AB)^{k}\,(AB) = \bigl(A^{k}\,B^{k}\bigr)\,(A\,B).
Agora agrupamos usando a comutatividade B^{k}A = A\,B^{k}:
A^{k}\,B^{k}\,A\,B = A^{k}\,\bigl(B^{k}A\bigr)\,B = A^{k}\,\bigl(A\,B^{k}\bigr)\,B = \bigl(A^{k}A\bigr)\,\bigl(B^{k}B\bigr) = A^{k+1}\,B^{k+1}.
Isso conclui o passo indutivo, e portanto por indução
(AB)^{n} = A^{n}\,B^{n} \quad\text{para todo \(n\in\mathbb{N}\).}

Resposta

a) (A+B)^{2}=A^{2}+2\,A\,B+B^{2}.
b) (A\,B)^{n}=A^{n}\,B^{n}.

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