Seja
, dada por
(derivada segunda). Mostre que
é linear e encontre uma base para
.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear \r
\r
por \r
por \r
ou seja, leva cada polinômio de grau até 3 à sua segunda derivada. O conteúdo é teoria de transformações lineares e núcleo (ou espaço nulo). Vamos mostrar que
é linear e depois achar uma base de
.
Passo 2
Para provar que
é linear, lembramos que uma transformação
é linear se, para quaisquer polinômios
e escalares
, valer\r
\r
De fato,\r
portanto
é linear.
Passo 3
Para achar o núcleo, tomamos um polinômio geral de grau até 3:\r
com
.
Passo 4
Calculamos a segunda derivada de
:\r
Passo 5
O núcleo
é o conjunto de todos os
tais que
(o polinômio zero). Isso exige que
e
, ou seja
e
. Então\r
com
livres.
Passo 6
Portanto \r
que é o espaço dos polinômios de grau
. Uma base natural é \r
Resposta
Uma base para
é
.
ewline\r
Além disso, é linear porque preserva soma e multiplicação por escalar pela propriedade das derivadas.
ewline\r
Além disso,