Determine a matriz [T]_{\mathcal{B}^{\prime}}^{\mathcal{B}} nos seguintes casos:
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T(x, y)=(x+2 y, 3 x+y), onde \mathcal{B}=\mathcal{B}^{\prime} é a base de canônica de \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2},\quad T(x,y)=(x+2y,\;3x+y)
e pede a matriz de T em relação à base canônica \mathcal{B}=\mathcal{B}'=\{e_{1},e_{2}\}, onde
e_{1}=(1,0),\quad e_{2}=(0,1).
Para montar essa matriz, basta calcular T(e_{1}) e T(e_{2}) e expressar os resultados nas coordenadas da base canônica.

Passo 2

Calcular T(e_{1}). Como e_{1}=(1,0), temos
T(1,0)=(1+2\cdot 0,\;3\cdot1+0)=(1,3).
As coordenadas de T(e_{1}) na base canônica são \begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix}.

Passo 3

Calcular T(e_{2}). Como e_{2}=(0,1), temos
T(0,1)=(0+2\cdot1,\;3\cdot0+1)=(2,1).
As coordenadas de T(e_{2}) na base canônica são \begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 4

Montar a matriz de T colocando em cada coluna as coordenadas de T(e_{1}) e T(e_{2}), respectivamente. Logo,
[T]_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 1 & 2\\\\ 3 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

[T]_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}} =\begin{pmatrix} 1 & 2\\\\ 3 & 1 \end{pmatrix}.

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