Determine a matriz X tal que X-I_{2}-3 I_{2}-5 I_{2}-7 I_{2}-\cdots-99 I_{2}=\mathbf{0}_{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação matricial
X - I_{2} - 3 I_{2} - 5 I_{2} - 7 I_{2} - \cdots - 99 I_{2} = \mathbf{0}_{2},
onde I_{2} é a matriz identidade 2\times2 e \mathbf{0}_{2} é a matriz zero 2\times2. A incógnita é a matriz X.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Todos os termos subtraídos de X são múltiplos escalares de I_{2}: são 1I_{2},3I_{2},5I_{2},\dots,99I_{2}.
  • A soma envolve todos os números ímpares de 1 até 99.
    O que o problema pede: encontrar explicitamente a matriz X que satisfaz a equação dada.

Passo 2

Regra algébrica útil (explicação didática): para matrizes, multiplicar a identidade por um escalar dá uma matriz diagonal com esse escalar nas entradas diagonais. Além disso, soma de escalares multiplicando a mesma matriz identidade pode ser agrupada:
aI_{2}+bI_{2}=(a+b)I_{2}.
Justificativa simples: I_{2}=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}, então aI_{2}=\begin{pmatrix}a&0\\[4pt]0&a\end{pmatrix} e bI_{2}=\begin{pmatrix}b&0\\[4pt]0&b\end{pmatrix}; somando obtém-se \begin{pmatrix}a+b&0\\[4pt]0&a+b\end{pmatrix}=(a+b)I_{2}. Logo, na equação dada podemos somar todos os escalares e escrever
X - \bigl(1+3+5+\cdots+99\bigr)I_{2}=\mathbf{0}_{2}.
Portanto, isolando X,
X=\bigl(1+3+5+\cdots+99\bigr)I_{2}.]

Passo 3

Agora precisamos calcular a soma dos números ímpares de 1 a 99:
S=1+3+5+\cdots+99.
Primeiro, contar quantos termos há: os ímpares de 1 a 99 formam uma progressão aritmética com primeiro termo 1 e último 99. O número de termos n é
n=\frac{99-1}{2}+1=\frac{98}{2}+1=49+1=50.
Então há 50 termos.

Passo 4

Método direto usando a fórmula da soma de uma progressão aritmética (didática): para uma PA com n termos, primeiro termo a_{1} e último termo a_{n},
\text{Soma}=n\cdot\frac{a_{1}+a_{n}}{2}.
Aplicando aqui com n=50, a_{1}=1, a_{n}=99:
S=50\cdot\frac{1+99}{2}=50\cdot\frac{100}{2}=50\cdot50=2500.

Passo 5

Observação alternativa (propriedade útil que aparece em provas): a soma dos primeiros n números ímpares é n^{2}. Como aqui n=50, então S=50^{2}=2500. Isso é consistente com o cálculo anterior.

Passo 6

Substituindo o valor de S em X obtido no Passo 2:
X = 2500\,I_{2}.
Escrevendo explicitamente como matriz 2\times2:
X = \begin{pmatrix}2500 & 0 \\[4pt] 0 & 2500\end{pmatrix}.
Verificação rápida (checagem): X - 2500I_{2}=\mathbf{0}_{2}, logo a equação inicial é satisfeita.]

Resposta

\displaystyle X=2500\,I_{2}=\begin{pmatrix}2500&0\\[4pt]0&2500\end{pmatrix}]

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