Determine a matriz
tal que
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação matricial
onde
é a matriz identidade
e
é a matriz zero
. A incógnita é a matriz
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Todos os termos subtraídos de
são múltiplos escalares de : são . - A soma envolve todos os números ímpares de
até .
O que o problema pede: encontrar explicitamente a matrizque satisfaz a equação dada.
Passo 2
Regra algébrica útil (explicação didática): para matrizes, multiplicar a identidade por um escalar dá uma matriz diagonal com esse escalar nas entradas diagonais. Além disso, soma de escalares multiplicando a mesma matriz identidade pode ser agrupada:
Justificativa simples:
, então
e
; somando obtém-se
. Logo, na equação dada podemos somar todos os escalares e escrever
Portanto, isolando
,
Passo 3
Agora precisamos calcular a soma dos números ímpares de
a
:
Primeiro, contar quantos termos há: os ímpares de
a
formam uma progressão aritmética com primeiro termo
e último
. O número de termos
é
Então há
termos.
Passo 4
Método direto usando a fórmula da soma de uma progressão aritmética (didática): para uma PA com
termos, primeiro termo
e último termo
,
Aplicando aqui com
,
,
:
Passo 5
Observação alternativa (propriedade útil que aparece em provas): a soma dos primeiros
números ímpares é
. Como aqui
, então
. Isso é consistente com o cálculo anterior.
Passo 6
Substituindo o valor de
em
obtido no Passo 2:
Escrevendo explicitamente como matriz
:
Verificação rápida (checagem):
, logo a equação inicial é satisfeita.]