Sejam
e
números reais não-nulos. Determine a inversa da matriz:
.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pede sua inversa. Escrevendo explicitamente:
onde
e
são números reais não-nulos. A tarefa é determinar
, a matriz inversa de
.]
Passo 2
Lembrando o conceito básico: a matriz inversa
é a matriz que satisfaz
onde
é a matriz identidade
. Para uma matriz
existe uma fórmula direta para a inversa (quando o determinante for diferente de zero):
Aqui
é o determinante da matriz; se o determinante for
a matriz não é inversível.]
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula ao caso
.
Identificando ,
,
,
, o determinante é
Identificando
Como
e
são reais e não são ambos zero, tem-se
. Logo o determinante é diferente de zero e a inversa existe.
Agora o adjunto (a matriz que aparece multiplicando
) é
Portanto, pela fórmula,
Passo 4
Para ganhar confiança, verifico rapidamente que
vezes
dá a identidade. Calculo o produto
Multiplicando e usando distributividade, o produto (antes de fatorar
) tem entradas:
- canto superior esquerdo:
, - canto superior direito:
, - canto inferior esquerdo:
, - canto inferior direito:
.
Assim o produto é
confirmando que a matriz encontrada é realmente a inversa.]