Sejam a e b números reais não-nulos. Determine a inversa da matriz:
\left(\begin{array}{cc}a & b \\\\ -b & a\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado dá a matriz M e pede sua inversa. Escrevendo explicitamente:
M=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] -b & a\end{pmatrix},
onde a e b são números reais não-nulos. A tarefa é determinar M^{-1}, a matriz inversa de M.]

Passo 2

Lembrando o conceito básico: a matriz inversa M^{-1} é a matriz que satisfaz
M M^{-1}=M^{-1}M=I,
onde I é a matriz identidade 2\times2. Para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}p & q\\[4pt] r & s\end{pmatrix}
existe uma fórmula direta para a inversa (quando o determinante for diferente de zero):
\left(\begin{pmatrix}p & q\\[4pt] r & s\end{pmatrix}\right)^{-1} =\frac{1}{ps-qr}\begin{pmatrix}s & -q\\[4pt] -r & p\end{pmatrix}.
Aqui ps-qr é o determinante da matriz; se o determinante for 0 a matriz não é inversível.]

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula ao caso M=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]-b & a\end{pmatrix}.
Identificando p=a, q=b, r=-b, s=a, o determinante é
\det(M)=ps-qr=a\cdot a - b\cdot(-b)=a^{2}+b^{2}.
Como a e b são reais e não são ambos zero, tem-se a^{2}+b^{2}>0. Logo o determinante é diferente de zero e a inversa existe.
Agora o adjunto (a matriz que aparece multiplicando 1/\det) é
\begin{pmatrix}s & -q\\[4pt]-r & p\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & -b\\[4pt] b & a\end{pmatrix}.
Portanto, pela fórmula,
M^{-1}=\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\begin{pmatrix}a & -b\\[4pt] b & a\end{pmatrix}.]

Passo 4

Para ganhar confiança, verifico rapidamente que M vezes M^{-1} dá a identidade. Calculo o produto
M\cdot M^{-1} = \begin{pmatrix}a & b\\[4pt]-b & a\end{pmatrix} \cdot \frac{1}{a^{2}+b^{2}}\begin{pmatrix}a & -b\\[4pt] b & a\end{pmatrix}.
Multiplicando e usando distributividade, o produto (antes de fatorar 1/(a^{2}+b^{2})) tem entradas:
  • canto superior esquerdo: a\cdot a + b\cdot b = a^{2}+b^{2},
  • canto superior direito: a\cdot(-b)+b\cdot a = -ab+ab=0,
  • canto inferior esquerdo: (-b)\cdot a + a\cdot b = -ab+ab=0,
  • canto inferior direito: (-b)\cdot(-b)+a\cdot a = b^{2}+a^{2}=a^{2}+b^{2}.
Assim o produto é
\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\begin{pmatrix}a^{2}+b^{2} & 0\\[4pt] 0 & a^{2}+b^{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=I,
confirmando que a matriz encontrada é realmente a inversa.]

Resposta

\displaystyle M^{-1}=\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\begin{pmatrix}a & -b\\[4pt] b & a\end{pmatrix}]

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