Sendo \theta uma constante real, resolva o sistema:
\left\{\begin{array}{l} x \operatorname{sen}(\theta)-y \cos (\theta)=-\cos (2 \theta) \\\ x \cos (\theta)+y \operatorname{sen}(\theta)=\operatorname{sen}(2 \theta) \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com incógnitas x e y e parâmetro real \theta. Escrevo o que é pedido e o que foi dado:
  • Pedimos a solução (x,y) em função de \theta.
  • O sistema é
\left\{\begin{array}{l} x\,\operatorname{sen}(\theta)-y\,\cos (\theta)=-\cos (2 \theta),\\[4pt] x\,\cos (\theta)+y\,\operatorname{sen}(\theta)=\operatorname{sen}(2 \theta). \end{array}\right.
Vou resolver explicitamente para x e y em termos de \theta.]

Passo 2

Organizo o sistema na forma matricial A\mathbf{v}=\mathbf{b}, onde \mathbf{v}=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}. Escrevo A e \mathbf{b}:
A=\begin{pmatrix}\operatorname{sen}(\theta) & -\cos(\theta)\\[4pt]\cos(\theta) & \operatorname{sen}(\theta)\end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}-\cos(2\theta)\\[4pt]\operatorname{sen}(2\theta)\end{pmatrix}.
Para obter \mathbf{v} preciso de A^{-1} (ou resolver por eliminação); primeiro verifico se A é invertível calculando seu determinante.]

Passo 3

Calculo o determinante de A. Para a matriz A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix} tem-se \det A = ad-bc. Aqui a=\operatorname{sen}(\theta), b=-\cos(\theta), c=\cos(\theta), d=\operatorname{sen}(\theta). Então
\det A = \operatorname{sen}(\theta)\cdot\operatorname{sen}(\theta) - \big(-\cos(\theta)\big)\cdot\cos(\theta) = \operatorname{sen}^2(\theta)+\cos^2(\theta).
Usando a identidade trigonométrica básica \operatorname{sen}^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1, obtemos
\det A = 1.
Conclusão: A é invertível para todo \theta real e a solução é única.]

Passo 4

Recordo a fórmula da inversa de uma matriz 2\times2. Se
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix},\qquad \det A\neq0,
então
A^{-1}=\frac{1}{\det A}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{pmatrix}.
Aqui \det A=1, então basta trocar e mudar sinais conforme a fórmula.]

Passo 5

Aplico a fórmula ao A do problema. Com a=\operatorname{sen}(\theta), b=-\cos(\theta), c=\cos(\theta), d=\operatorname{sen}(\theta) e \det A=1, obtém-se
A^{-1}=\begin{pmatrix}\operatorname{sen}(\theta) & \cos(\theta)\\[4pt]-\cos(\theta) & \operatorname{sen}(\theta)\end{pmatrix}.]

Passo 6

A solução é \mathbf{v}=A^{-1}\mathbf{b}. Faço o produto matricial explicitamente:
\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\operatorname{sen}(\theta) & \cos(\theta)\\[4pt]-\cos(\theta) & \operatorname{sen}(\theta)\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-\cos(2\theta)\\[4pt]\operatorname{sen}(2\theta)\end{pmatrix}.
Calculando cada componente:
x=\operatorname{sen}(\theta)\big(-\cos(2\theta)\big)+\cos(\theta)\,\operatorname{sen}(2\theta),
y=-\cos(\theta)\big(-\cos(2\theta)\big)+\operatorname{sen}(\theta)\,\operatorname{sen}(2\theta).]

Passo 7

Agora simplifico usando identidades trigonométricas. Primeiro lembro duas fórmulas de diferença de ângulo:
\operatorname{sen}(A-B)=\operatorname{sen}(A)\cos(B)-\cos(A)\operatorname{sen}(B),
\cos(A-B)=\cos(A)\cos(B)+\operatorname{sen}(A)\operatorname{sen}(B).
Para x tenho
x=\cos(\theta)\,\operatorname{sen}(2\theta)-\operatorname{sen}(\theta)\cos(2\theta).
Comparando com a fórmula de \operatorname{sen}(A-B) e tomando A=2\theta, B=\theta, vemos que
x=\operatorname{sen}(2\theta)\cos(\theta)-\cos(2\theta)\operatorname{sen}(\theta)=\operatorname{sen}(2\theta-\theta)=\operatorname{sen}(\theta).
Para y temos
y=\cos(\theta)\cos(2\theta)+\operatorname{sen}(\theta)\operatorname{sen}(2\theta).
Pela fórmula de \cos(A-B) com A=2\theta, B=\theta,
y=\cos(2\theta-\theta)=\cos(\theta).

Passo 8

Portanto a simplificação dá as soluções simples e bonitas:
x=\operatorname{sen}(\theta),\qquad y=\cos(\theta).
É uma solução única válida para todo \theta\in\mathbb{R}. (Se quiser, pode verificar substituindo estas expressões no sistema original.)

Resposta

x=\operatorname{sen}(\theta)
y=\cos(\theta)

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