Sendo
uma constante real, resolva o sistema:
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear com incógnitas
e
e parâmetro real
. Escrevo o que é pedido e o que foi dado:
- Pedimos a solução
em função de . - O sistema é
Vou resolver explicitamente para
e
em termos de
.]
Passo 2
Organizo o sistema na forma matricial
, onde
. Escrevo
e
:
Para obter
preciso de
(ou resolver por eliminação); primeiro verifico se
é invertível calculando seu determinante.]
Passo 3
Calculo o determinante de
. Para a matriz
tem-se
. Aqui
,
,
,
. Então
Usando a identidade trigonométrica básica
, obtemos
Conclusão:
é invertível para todo
real e a solução é única.]
Passo 4
Recordo a fórmula da inversa de uma matriz
. Se
então
Aqui
, então basta trocar e mudar sinais conforme a fórmula.]
Passo 5
Aplico a fórmula ao
do problema. Com
,
,
,
e
, obtém-se
Passo 6
A solução é
. Faço o produto matricial explicitamente:
Calculando cada componente:
Passo 7
Agora simplifico usando identidades trigonométricas. Primeiro lembro duas fórmulas de diferença de ângulo:
Para
tenho
Comparando com a fórmula de
e tomando
,
, vemos que
Para
temos
Pela fórmula de
com
,
,
Passo 8
Portanto a simplificação dá as soluções simples e bonitas:
É uma solução única válida para todo
. (Se quiser, pode verificar substituindo estas expressões no sistema original.)