Determine a matriz da transformação linear T: R^3 R^3, com T(x, y, z)=(x+2 y, 2 x+y+z, y-z), considerando:
2. base B=(1,1,0),(-1,1,1),(0,1,1) para domínio e contradomínio;

Passo 1

O enunciado pede a matriz de TcolonR^3toR^3 definida por
T(x,y,z) = (,x+2y,;2x+y+z,;y-z,)
na base B=b1,b2,b3 com
b1=(1,1,0), b2=(-1,1,1), b3=(0,1,1),
tanto no domínio quanto no contradomínio. Para isso, vamos calcular T(bi) e depois expressar cada T(bi) como combinação linear de b1,b2,b3. As coordenadas dessa combinação formam a i-ésima coluna da matriz buscada.

Passo 2

Calculemos primeiro
Queremos
Isso gera o sistema
Resolvendo, obtemos ((c_1,c_2,c_3) = (2,-1,2)]. Essa é a primeira coluna da matriz.

Passo 3

Agora
Queremos
Resolvendo, ((d_1,d_2,d_3) = (0,-1,1)]. Essa é a segunda coluna.

Passo 4

Por fim
Queremos
Resolvendo, ((e_1,e_2,e_3) = (2,0,0)]. Essa é a terceira coluna.

Resposta

A matriz de T na base B (domínio e contradomínio) é
[T]B^B = 2 & 0 & 2 -1 & -1 & 0 2 & 1 & 0

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