Encontre a matriz de T em relação às bases canônicas das transformações lineares abaixo. Determine o núcleo e descreva-os geometricamente.
  1. T: R^2 R, T(x, y)=y+2 x;

Passo 1

Resumindo o enunciado, estamos diante de uma transformação linear \r
TcolonR^2toR definida por \r
T(x,y)=y+2x \r
O que nos pedem é: \r
  1. Encontrar a matriz de T em relação às bases canônicas de R^2 e R. \r
  2. Determinar o núcleo de T e descrevê-lo geometricamente.

Passo 2

Para achar a matriz em bases canônicas, basta ver como T age nos vetores canônicos \r
e1=(1,0) e e2=(0,1) de R^2. \r
Calculamos: \r
T(e1)=T(1,0)=0+2cdot1=2,
T(e2)=T(0,1)=1+2cdot0=1 \r
Como a base canônica de R é 1, a matriz de T (que é 1times2) fica \r
[T]can=2 & 1

Passo 3

O núcleo de T é o conjunto de todos (x,y) tais que T(x,y)=0. Logo,\r
y+2x=0Long<=ftrightarrow y=-2x\r
Isso mostra que\r
ker(T)=(x,y)inR^2mid y=-2x=span(1,-2)\r
Geometricamente, esse núcleo é a reta que passa pela origem com inclinação -2 no plano xy.

Resposta

Matriz de T em base canônica:\r
[T]can=2 & 1 \r
Núcleo de T:\r
ker(T)=(x,y)mid y=-2x=span(1,-2), \r
que geometricamente é a reta de equação y=-2x no plano.

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