Determine a matriz da transformação linear
que leva o subespaço
no subspaço
e o núcleo de
é exatamente
.
Passo 1
O enunciado pede uma transformação linear
tal que
quando restringida a
e
. O conteúdo aqui é decompor
em
, escolher bases de
e
, definir
matando
e enviando a base de
na base de
, e então encontrar a matriz de
na base canônica.
Passo 2
Parametrizamos
pelas equações
Logo um vetor em
é
Assim uma base de
é
Passo 3
Parametrizamos
pelas equações
de modo que
Uma base de
é
Passo 4
As equações de
são
e
. Os vetores normais formam uma base de
:
Queremos
.
Passo 5
Definimos
por
Assim em qualquer
escrevemos
e então
Passo 6
Para achar
e
em função de
resolvemos separadamente os pares
e
:
- De
segue
- De
segue
Logo
Passo 7
Escrevendo em forma matricial na base canônica, obtemos
]