Determine a matriz da transformação linear T: \mathbb{R}^{4} \mapsto \mathbb{R}^{4} que leva o subespaço W_{1}=\{(x, y, z, t) \in \left.\mathbb{R}^{4} ; y-2 x=0 \mathrm{e} z-3 t=0\right\} no subspaço W_{2}=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} ; x-3 y=0 \mathrm{e} t-2 z=0\right\} e o núcleo de T é exatamente W_{1}^{\perp}.

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear
T:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{4}
tal que \mathrm{Im}\,T=W_{2} quando restringida a
W_{1}=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4; y-2x=0,\;z-3t=0\}
e \ker T=W_{1}^{\perp}. O conteúdo aqui é decompor \mathbb{R}^4 em W_{1}\oplus W_{1}^{\perp}, escolher bases de W_{1} e W_{2}, definir T matando W_{1}^{\perp} e enviando a base de W_{1} na base de W_{2}, e então encontrar a matriz de T na base canônica.

Passo 2

Parametrizamos W_{1} pelas equações
y=2x,\quad z=3t.
Logo um vetor em W_{1} é
(x,2x,3t,t)=x\,(1,2,0,0)+t\,(0,0,3,1).
Assim uma base de W_{1} é
u_{1}=(1,2,0,0),\quad u_{2}=(0,0,3,1).

Passo 3

Parametrizamos W_{2} pelas equações
x=3y,\quad t=2z,
de modo que
(3y,y,z,2z)=y\,(3,1,0,0)+z\,(0,0,1,2).
Uma base de W_{2} é
v_{1}=(3,1,0,0),\quad v_{2}=(0,0,1,2).

Passo 4

As equações de W_{1} são y-2x=0 e z-3t=0. Os vetores normais formam uma base de W_{1}^{\perp}:
n_{1}=(-2,1,0,0),\quad n_{2}=(0,0,1,-3).
Queremos \ker T=\mathrm{span}\{n_{1},n_{2}\}.

Passo 5

Definimos T por
T(u_{1})=v_{1},\quad T(u_{2})=v_{2},\qquad T(n_{1})=0,\;T(n_{2})=0.
Assim em qualquer x=(x,y,z,t) escrevemos
x=a\,u_{1}+b\,u_{2}+c\,n_{1}+d\,n_{2},
e então
T(x)=a\,v_{1}+b\,v_{2}=(3a,a,b,2b).

Passo 6

Para achar a e b em função de (x,y,z,t) resolvemos separadamente os pares (x,y) e (z,t):
  1. De (x,y)=a(1,2)+c(-2,1) segue
a=\frac{x+2y}{5}.
  1. De (z,t)=b(3,1)+d(1,-3) segue
b=\frac{3z+t}{10}.
Logo
T(x,y,z,t)=\Bigl(3\frac{x+2y}{5},\,\frac{x+2y}{5},\,\frac{3z+t}{10},\,2\frac{3z+t}{10}\Bigr).

Passo 7

Escrevendo em forma matricial na base canônica, obtemos
T(x,y,z,t) = \begin{pmatrix} \frac{3}{5} & \frac{6}{5} & 0 & 0\\[6pt] \frac{1}{5} & \frac{2}{5} & 0 & 0\\[6pt] 0 & 0 & \frac{3}{10} & \frac{1}{10}\\[6pt] 0 & 0 & \frac{6}{10} & \frac{2}{10} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\t\end{pmatrix}.]

Resposta

\boxed{ \begin{pmatrix} \frac{3}{5} & \frac{6}{5} & 0 & 0\\[6pt] \frac{1}{5} & \frac{2}{5} & 0 & 0\\[6pt] 0 & 0 & \frac{3}{10} & \frac{1}{10}\\[6pt] 0 & 0 & \frac{6}{10} & \frac{2}{10} \end{pmatrix} }]

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