Seja
o subespaço vetorial de
determinado pelas soluções do sistema linear
onde
Determine uma base ortogonal de
e uma base de
.
Passo 1
O enunciado pede o subespaço
onde
e quer (1) uma base ortogonal de
e (2) uma base de
. Para isso vamos (i) resolver
para obter uma base de
, (ii) aplicar Gram–Schmidt para torná-la ortogonal, e (iii) lembrar que
é o espaço gerado pelas linhas de
.
Passo 2
Resolvendo
temos o sistema
Escolhendo
,
, obtemos
logo
Assim uma base (não ortogonal) de
é
Passo 3
Aplicamos Gram–Schmidt em
. Definimos
Calculamos
logo o coeficiente é
e
Verifica-se
. Para simplificar, podemos escalar
por 3 e usar
que continuam ortogonais.
Passo 4
Concluímos que uma base ortogonal de
é
Passo 5
Para
basta observar que é o espaço gerado pelas linhas de
. Uma base de
é
Resposta
Uma base ortogonal de
é
Uma base de
é