Seja W o subespaço vetorial de \mathbb{R}^{4} determinado pelas soluções do sistema linear A \vec{x}=\overrightarrow{0} onde
A=\left(\begin{array}{llll} 3 & 0 & -1 & -1 \\\\ 0 & 1 & -1 & -2 \end{array}\right) .
Determine uma base ortogonal de W e uma base de W^{\perp}.

Passo 1

O enunciado pede o subespaço
W = \{\,\vec x\in\mathbb R^4 \mid A\vec x = \vec 0\}
onde
A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & -1 & -1\\\\ 0 & 1 & -1 & -2 \end{pmatrix},
e quer (1) uma base ortogonal de W e (2) uma base de W^\perp. Para isso vamos (i) resolver A\vec x=\vec0 para obter uma base de W, (ii) aplicar Gram–Schmidt para torná-la ortogonal, e (iii) lembrar que W^\perp é o espaço gerado pelas linhas de A.

Passo 2

Resolvendo
A\vec x=\vec0,\quad \vec x=(x_1,x_2,x_3,x_4),
temos o sistema
\begin{cases} 3x_1 - x_3 - x_4 = 0,\\\ x_2 - x_3 - 2x_4 = 0. \end{cases}
Escolhendo x_3 = t, x_4 = s, obtemos
x_1 = \frac{t+s}{3},\qquad x_2 = t + 2s,
logo
\vec x = t\begin{pmatrix}\tfrac13\\\ 1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}\tfrac13\\\ 2\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Assim uma base (não ortogonal) de W é
v_1 = \begin{pmatrix}\tfrac13\\\ 1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix}\tfrac13\\\ 2\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 3

Aplicamos Gram–Schmidt em \{v_1,v_2\}. Definimos
u_1 = v_1, \qquad u_2 = v_2 - \frac{\langle v_2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}\,u_1.
Calculamos
\langle u_1,u_1\rangle =\Bigl(\tfrac13\Bigr)^2+1^2+1^2+0^2 =\frac{1}{9}+2 =\frac{19}{9},
\langle v_2,u_1\rangle =\Bigl(\tfrac13\Bigr)^2+2\cdot1+0\cdot1+1\cdot0 =\frac{1}{9}+2 =\frac{19}{9},
logo o coeficiente é 1 e
u_2 = v_2 - u_1 = \begin{pmatrix}\tfrac13\\\ 2\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}\tfrac13\\\ 1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}.
Verifica-se \langle u_1,u_2\rangle=0. Para simplificar, podemos escalar u_1 por 3 e usar
u_1' = 3u_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ 3\\\ 0\end{pmatrix}, \quad u_2' = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix},
que continuam ortogonais.

Passo 4

Concluímos que uma base ortogonal de W é
\{\, (1,3,3,0),\;(0,1,-1,1)\}.

Passo 5

Para W^\perp basta observar que é o espaço gerado pelas linhas de A. Uma base de W^\perp é
\{\, (3,0,-1,-1),\;(0,1,-1,-2)\}.

Resposta

Uma base ortogonal de W é
\{\, (1,3,3,0),\;(0,1,-1,1)\}.
Uma base de W^\perp é
\{\, (3,0,-1,-1),\;(0,1,-1,-2)\}.

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