Seja
operador levear tal que
. Verifique que
Nuc
. (2 ponto)
Passo 1
O enunciado dá o seguinte: há um operador linear
tal que
. A tarefa é verificar (provar) que
Vou listar claramente o que é pedido e o que temos:
- Dado:
é linear e satisfaz . - Pedido: mostrar que todo vetor de
pode ser escrito como soma de um vetor de com um vetor de , e que essa escrita é única, isto é, mostrar que e . Essas duas propriedades juntas equivalem a .
Passo 2
Definições e observações úteis (explicadas devagar para ficar claro):
-
é o conjunto de imagens de . É um subespaço de porque é linear: se e então e . -
é o núcleo (Nuc ). Também é subespaço por linearidade: se e então e . - Lembrete sobre soma direta: dizer
significa duas coisas: -
, ou seja, cada escreve-se como com . -
, ou seja, a decomposição é única.
-
Passo 3
Provar que
.
- Tome
. Então existem tal que (pois ), e também (pois ). - Aplicando
em obtemos . - Usando a hipótese
temos . Assim . - Mas também sabemos
. Logo . - Conclusão: qualquer
na interseção é , portanto .
Passo 4
Provar que
(isto é, qualquer
tem decomposição como soma).
- Tome um vetor arbitrário
. - Considere os dois vetores
e . - Observação:
por definição. - Verificar que
. Aplicando : Usando obtemos . - Portanto
. - Assim escrevemos
com e . - Conclusão: todo
é soma de um elemento de com um elemento de , logo .
Passo 5
Mostrar que a decomposição é única (reafirmação da soma direta).
- Suponha que exista outra escrita
com e . - Aplicando
em ambos os lados: . - Como
há com , logo . E porque . - Portanto
. Assim é determinado por . - Consequentemente
também é determinado. Logo a decomposição é única. - Como já provamos interseção trivial no Passo 3, isso confirma que a soma é direta.
Passo 6
Interpretação final (intuitiva e útil para a prova): a condição
caracteriza projeções lineares (idempotentes). O operador
projeta cada
para
(componente na imagem) e a diferença
é a componente que cai no núcleo. Por isso
se decompõe em soma direta da imagem com o núcleo.