Seja E: V \rightarrow V operador levear tal que E^{2}=E. Verifique que V=\operatorname{Im} E \oplus Nuc E. (2 ponto)

Passo 1

O enunciado dá o seguinte: há um operador linear E: V \to V tal que \,E^{2}=E. A tarefa é verificar (provar) que
V=\operatorname{Im} E \oplus \ker E.
Vou listar claramente o que é pedido e o que temos:
  • Dado: E é linear e satisfaz \,E^{2}=E.
  • Pedido: mostrar que todo vetor de V pode ser escrito como soma de um vetor de \operatorname{Im} E com um vetor de \ker E, e que essa escrita é única, isto é, mostrar que V=\operatorname{Im} E + \ker E e \operatorname{Im} E \cap \ker E=\{0\}. Essas duas propriedades juntas equivalem a V=\operatorname{Im} E \oplus \ker E.

Passo 2

Definições e observações úteis (explicadas devagar para ficar claro):
  • \operatorname{Im} E=\{E(v)\mid v\in V\} é o conjunto de imagens de E. É um subespaço de V porque E é linear: se u=E(v_1) e w=E(v_2) então u+w=E(v_1)+E(v_2)=E(v_1+v_2)\in\operatorname{Im} E e \alpha u=E(\alpha v_1)\in\operatorname{Im} E.
  • \ker E=\{v\in V\mid E(v)=0\} é o núcleo (Nuc E). Também é subespaço por linearidade: se E(v_1)=0 e E(v_2)=0 então E(v_1+v_2)=0 e E(\alpha v_1)=0.
  • Lembrete sobre soma direta: dizer V=U\oplus W significa duas coisas:
    1. V=U+W, ou seja, cada v\in V escreve-se como v=u+w com u\in U,\;w\in W.
    2. U\cap W=\{0\}, ou seja, a decomposição é única.

Passo 3

Provar que \operatorname{Im} E \cap \ker E=\{0\}.
  • Tome x\in\operatorname{Im} E \cap \ker E. Então existem y\in V tal que x=E(y) (pois x\in\operatorname{Im} E), e também E(x)=0 (pois x\in\ker E).
  • Aplicando E em x=E(y) obtemos E(x)=E(E(y))=E^{2}(y).
  • Usando a hipótese E^{2}=E temos E^{2}(y)=E(y). Assim E(x)=E(y)=x.
  • Mas também sabemos E(x)=0. Logo x=0.
  • Conclusão: qualquer x na interseção é 0, portanto \operatorname{Im} E \cap \ker E=\{0\}.

Passo 4

Provar que V=\operatorname{Im} E + \ker E (isto é, qualquer v\in V tem decomposição como soma).
  • Tome um vetor arbitrário v\in V.
  • Considere os dois vetores E(v) e v-E(v).
  • Observação: E(v)\in\operatorname{Im} E por definição.
  • Verificar que v-E(v)\in\ker E. Aplicando E: E\big(v-E(v)\big)=E(v)-E(E(v))=E(v)-E^{2}(v).Usando E^{2}=E obtemos E(v)-E^{2}(v)=E(v)-E(v)=0.
  • Portanto v-E(v)\in\ker E.
  • Assim escrevemos v = E(v) + \big(v-E(v)\big),com E(v)\in\operatorname{Im} E e v-E(v)\in\ker E.
  • Conclusão: todo v\in V é soma de um elemento de \operatorname{Im} E com um elemento de \ker E, logo V=\operatorname{Im} E + \ker E.

Passo 5

Mostrar que a decomposição é única (reafirmação da soma direta).
  • Suponha que exista outra escrita v=u+k com u\in\operatorname{Im} E e k\in\ker E.
  • Aplicando E em ambos os lados: E(v)=E(u)+E(k).
  • Como u\in\operatorname{Im} E w com u=E(w), logo E(u)=E(E(w))=E^{2}(w)=E(w)=u. E E(k)=0 porque k\in\ker E.
  • Portanto E(v)=u+0=u. Assim u é determinado por u=E(v).
  • Consequentemente k=v-u=v-E(v) também é determinado. Logo a decomposição é única.
  • Como já provamos interseção trivial no Passo 3, isso confirma que a soma é direta.

Passo 6

Interpretação final (intuitiva e útil para a prova): a condição \,E^{2}=E caracteriza projeções lineares (idempotentes). O operador E projeta cada v para E(v) (componente na imagem) e a diferença v-E(v) é a componente que cai no núcleo. Por isso V se decompõe em soma direta da imagem com o núcleo.

Resposta

V=\operatorname{Im} E \oplus \ker E

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