Falso ou Verdadeiro.
(1) A transformação linear G: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por G(x, y)=(x+y, x-2 y, 3 x+y) é singular. (1 ponto)
(2) Seja o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dado por T(x, y, z)=(2 x, 4 x-y, 2 x+3 y-z). Assim, T não é invertível. (1,5 ponto)
Passo 1
O enunciado traz duas afirmações e pede que se diga se cada uma é verdadeira ou falsa.
Afirmação (1): A transformação linear G: \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} dada por
G(x,y)=(x+y,\;x-2y,\;3x+y)
é singular.
Afirmação (2): O operador linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} dado por
T(x,y,z)=(2x,\;4x-y,\;2x+3y-z)
não é invertível.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
Para G temos um mapeamento de dimensão de domínio 2 para dimensão de contradomínio 3.
Para T temos um operador em \mathbb{R}^3, ou seja, domínio e contradomínio têm mesma dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender claramente o que significa “singular” e “invertível” no contexto que precisamos usar aqui.
Kernel (núcleo): Para uma transformação linear L, o núcleo é o conjunto \{v \mid L(v)=0\}. Se o núcleo contém apenas o vetor nulo, diz-se que L é injetora.
“Singular”: numa linguagem comum de Álgebra Linear, chamar uma transformação linear de “singular” costuma significar que ela não é injetora (ou, para matrizes quadradas, que não é invertível). Para um mapa entre espaços de dimensões diferentes, a forma prática é verificar se o núcleo é não trivial. Aqui vamos usar essa definição: “singular” = tem núcleo diferente de \{0\}.
“Invertível” (no caso de um operador em \mathbb{R}^3): um operador linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 é invertível se e somente se sua matriz (na base canônica) tem determinante não nulo. Equivalente: núcleo trivial.
Vou aplicar essas definições diretamente aos dois itens.
Passo 3
Análise da afirmação (1) — verificar se [G) é singular.
Escrever G(x,y)=0 e resolver o sistema para encontrar o núcleo:
Da primeira equação temos x=-y\]. Substituindo na segunda:
\[x-2y= -y - 2y = -3y = 0 \quad\Rightarrow\quad y=0.\]
Então \(y=0 e x=-y=0. A terceira equação é então 3\cdot 0 + 0 = 0, que é satisfeita. Concluímos que a única solução é x=0,\;y=0.
Portanto o núcleo de G é só o vetor nulo, ou seja, \ker(G)=\{(0,0)\}. Isso significa que G é injetora.
Como adotamos que “singular” significa não injetora (ter núcleo não trivial), G NÃO é singular.]
Passo 4
Comentário prático sobre (1): embora o contradomínio tenha dimensão maior (3) que o domínio (2), isso não impede G de ser injetora. Aqui de fato G é injetora (posto 2), então a afirmação " G é singular" é falsa.
Passo 5
Análise da afirmação (2) — verificar se T não é invertível.
Primeiro escrevemos a matriz de T na base canônica. As colunas são as imagens de e_1,e_2,e_3: