Falso ou Verdadeiro.
(1) A transformação linear G: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por G(x, y)=(x+y, x-2 y, 3 x+y) é singular. (1 ponto)
(2) Seja o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dado por T(x, y, z)=(2 x, 4 x-y, 2 x+3 y-z). Assim, T não é invertível. (1,5 ponto)

Passo 1

O enunciado traz duas afirmações e pede que se diga se cada uma é verdadeira ou falsa.
  • Afirmação (1): A transformação linear G: \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} dada por
G(x,y)=(x+y,\;x-2y,\;3x+y)
é singular.
  • Afirmação (2): O operador linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} dado por
T(x,y,z)=(2x,\;4x-y,\;2x+3y-z)
não é invertível.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
  • Para G temos um mapeamento de dimensão de domínio 2 para dimensão de contradomínio 3.
  • Para T temos um operador em \mathbb{R}^3, ou seja, domínio e contradomínio têm mesma dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender claramente o que significa “singular” e “invertível” no contexto que precisamos usar aqui.
  • Kernel (núcleo): Para uma transformação linear L, o núcleo é o conjunto \{v \mid L(v)=0\}. Se o núcleo contém apenas o vetor nulo, diz-se que L é injetora.
  • “Singular”: numa linguagem comum de Álgebra Linear, chamar uma transformação linear de “singular” costuma significar que ela não é injetora (ou, para matrizes quadradas, que não é invertível). Para um mapa entre espaços de dimensões diferentes, a forma prática é verificar se o núcleo é não trivial. Aqui vamos usar essa definição: “singular” = tem núcleo diferente de \{0\}.
  • “Invertível” (no caso de um operador em \mathbb{R}^3): um operador linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 é invertível se e somente se sua matriz (na base canônica) tem determinante não nulo. Equivalente: núcleo trivial.
Vou aplicar essas definições diretamente aos dois itens.

Passo 3

Análise da afirmação (1) — verificar se [G) é singular.
Escrever G(x,y)=0 e resolver o sistema para encontrar o núcleo:
G(x,y)=(x+y,\;x-2y,\;3x+y)=(0,0,0).
Isso gera o sistema linear
\begin{cases} x+y=0,\\[4pt] x-2y=0,\\[4pt] 3x+y=0. \end{cases}
Vamos resolver passo a passo.
Da primeira equação temos x=-y\]. Substituindo na segunda: \[x-2y= -y - 2y = -3y = 0 \quad\Rightarrow\quad y=0.\] Então \(y=0 e x=-y=0. A terceira equação é então 3\cdot 0 + 0 = 0, que é satisfeita. Concluímos que a única solução é x=0,\;y=0.
Portanto o núcleo de G é só o vetor nulo, ou seja, \ker(G)=\{(0,0)\}. Isso significa que G é injetora.
Como adotamos que “singular” significa não injetora (ter núcleo não trivial), G NÃO é singular.]

Passo 4

Comentário prático sobre (1): embora o contradomínio tenha dimensão maior ( 3) que o domínio ( 2), isso não impede G de ser injetora. Aqui de fato G é injetora (posto 2), então a afirmação " G é singular" é falsa.

Passo 5

Análise da afirmação (2) — verificar se T não é invertível.
Primeiro escrevemos a matriz de T na base canônica. As colunas são as imagens de e_1,e_2,e_3:
T(e_1)=T(1,0,0)=(2,4,2),\qquad T(e_2)=T(0,1,0)=(0,-1,3),\qquad T(e_3)=T(0,0,1)=(0,0,-1).
Logo a matriz A de T é
A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\[4pt] 4 & -1 & 3\\[4pt] 2 & 3 & -1 \end{pmatrix}.
Para saber se T é invertível, calculamos o determinante de A. Se \det(A)\neq 0, então T é invertível; se \det(A)=0, então T não é invertível.]

Passo 6

Cálculo do determinante. É conveniente expandir pela primeira linha, que tem dois zeros:
\det(A)=2\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 3\\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix} -0\cdot(\cdots)+0\cdot(\cdots).
Agora o menor 2\times2:
\det\begin{pmatrix}-1 & 3\\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix}=(-1)(-1)-3\cdot 3 = 1-9 = -8.
Portanto
\det(A)=2\cdot (-8) = -16.
Como \det(A)=-16\neq 0, a matriz A é invertível e, consequentemente, o operador linear T é invertível.
Logo a afirmação " T não é invertível" é falsa.]

Resposta

1 Falso
2 Falso

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