Seja
um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno.
Se
são isometrias, mostre que
é uma isometria.
Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara.
- Dados:
é um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno e são isometrias. - Pedido: mostrar que
(a composição de e ) é uma isometria.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
e são lineares (pois pertencem a ). - Por serem isometrias, eles preservam o produto interno: para todos
vale e .
Passo 2
O que significa “isometria” aqui — uma breve aula rápida e prática.
- Definição: um operador linear
é isometria se, para todos ,
- Consequência imediata: um isometria preserva normas, porque a norma é induzida pelo produto interno. Para todo
,
logo
.
- Observação pedagógica: preservar produto interno é a forma mais forte; preservar norma (ou comprimento) é equivalente quando o operador é linear — na prática, em provas costuma-se verificar uma das duas formas.
Passo 3
Primeiro passo técnico simples:
é linear.
- Justificativa: a composição de duas aplicações lineares é linear. Explicitamente, para todos
e escalar ,
Portanto
.
Passo 4
Mostrando que
preserva o produto interno (o núcleo da prova).
- Pegue vetores arbitrários
. Então, escrevendo passo a passo e usando que e são isometrias,
- Explicação das igualdades:
- A primeira é apenas reescrever
. - A segunda usa que
é isometria, portanto aplica-se a e . - A terceira usa que
é isometria.
- A primeira é apenas reescrever
- Conclusão imediata: para todos
tem-se . Assim preserva o produto interno.
Passo 5
Interpretando o resultado para a prova — resumo prático e alternativa pela norma.
- Como
é linear (Passo 3) e preserva produto interno (Passo 4), por definição é isometria. - Alternativa pela norma (útil em prova rápida): para todo
,
logo
e
preserva normas, portanto é isometria.