Seja \mathcal{V} um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno.
Se T, S \in \mathcal{L}(\mathcal{V}) são isometrias, mostre que T S é uma isometria.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara.
  • Dados: \mathcal{V} é um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno e T,S\in\mathcal{L}(\mathcal{V}) são isometrias.
  • Pedido: mostrar que TS (a composição de T e S) é uma isometria.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • T e S são lineares (pois pertencem a \mathcal{L}(\mathcal{V})).
  • Por serem isometrias, eles preservam o produto interno: para todos u,v\in\mathcal{V} vale \langle Tu,Tv\rangle=\langle u,v\rangle e \langle Su,Sv\rangle=\langle u,v\rangle.

Passo 2

O que significa “isometria” aqui — uma breve aula rápida e prática.
  • Definição: um operador linear A\in\mathcal{L}(\mathcal{V}) é isometria se, para todos x,y\in\mathcal{V},
\langle Ax,Ay\rangle=\langle x,y\rangle.
  • Consequência imediata: um isometria preserva normas, porque a norma é induzida pelo produto interno. Para todo x,
\|Ax\|^2=\langle Ax,Ax\rangle=\langle x,x\rangle=\|x\|^2,
logo \|Ax\|=\|x\|.
  • Observação pedagógica: preservar produto interno é a forma mais forte; preservar norma (ou comprimento) é equivalente quando o operador é linear — na prática, em provas costuma-se verificar uma das duas formas.

Passo 3

Primeiro passo técnico simples: TS é linear.
  • Justificativa: a composição de duas aplicações lineares é linear. Explicitamente, para todos u,v\in\mathcal{V} e escalar \alpha,
TS(u+\alpha v)=T(S(u+\alpha v))=T(Su+\alpha Sv)=T(Su)+\alpha T(Sv)=TSu+\alpha TSv.
Portanto TS\in\mathcal{L}(\mathcal{V}).

Passo 4

Mostrando que TS preserva o produto interno (o núcleo da prova).
  • Pegue vetores arbitrários v,w\in\mathcal{V}. Então, escrevendo passo a passo e usando que T e S são isometrias,
\langle TSv,\,TSw\rangle =\langle T(Sv),\,T(Sw)\rangle =\langle Sv,\,Sw\rangle =\langle v,\,w\rangle.
  • Explicação das igualdades:
    • A primeira é apenas reescrever TSv=T(Sv).
    • A segunda usa que T é isometria, portanto aplica-se a Sv e Sw.
    • A terceira usa que S é isometria.
  • Conclusão imediata: para todos v,w tem-se \langle TSv,TSw\rangle=\langle v,w\rangle. Assim TS preserva o produto interno.

Passo 5

Interpretando o resultado para a prova — resumo prático e alternativa pela norma.
  • Como TS é linear (Passo 3) e preserva produto interno (Passo 4), por definição TS é isometria.
  • Alternativa pela norma (útil em prova rápida): para todo v,
\|TSv\|^2=\langle TSv,TSv\rangle=\langle v,v\rangle=\|v\|^2,
logo \|TSv\|=\|v\| e TS preserva normas, portanto é isometria.

Resposta

TS é uma isometria.

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