Determine se as matrizes abaixo são diagonalizáveis. Em caso afirmativo, determine uma matriz M que realiza a diagonalização e determine a matriz diagonal resultante.
\left(\begin{array}{ll}2 & 4 \\\\ 3 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = \begin{pmatrix}2 & 4 \\\\ 3 & 1\end{pmatrix}
é diagonalizável. Para isso, vamos encontrar o polinômio característico, os autovalores \lambda, depois os autovetores e, por fim, montar uma matriz M cujas colunas sejam esses autovetores, obtendo
M^{-1} A\,M = D
com D diagonal.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
\chi_A(\lambda) = \det\bigl(A - \lambda I\bigr) = \det\begin{pmatrix}2-\lambda & 4 \\[6pt] 3 & 1-\lambda\end{pmatrix} = (2-\lambda)(1-\lambda) - 4\cdot3 = \lambda^2 - 3\lambda - 10.
Resolvendo \lambda^2 - 3\lambda - 10 = 0, obtemos
\lambda = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2} \;\Longrightarrow\; \lambda_1 = 5,\quad \lambda_2 = -2.]

Passo 3

Para \lambda_1 = 5, resolvemos
(A - 5I)v = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}2-5 & 4 \\[3pt] 3 & 1-5\end{pmatrix} \!\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 & 4 \\[3pt] 3 & -4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
A equação -3x + 4y = 0 y = \tfrac{3}{4}x. Podemos escolher o autovetor
v_1 = \begin{pmatrix}4\\\ 3\end{pmatrix}.
Para \lambda_2 = -2, resolvemos
(A + 2I)v = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}4 & 4 \\[3pt] 3 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix},
que dá 4x +4y=0, ou seja y=-x. Escolhemos
v_2 = \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Como os autovalores \lambda_1 e \lambda_2 são distintos, a matriz A é diagonalizável. Tomando
M = \begin{pmatrix}4 & 1 \\[3pt] 3 & -1\end{pmatrix},
suas colunas são v_1 e v_2. Então
D = M^{-1} A\,M = \begin{pmatrix}5 & 0 \\[3pt] 0 & -2\end{pmatrix}.]

Resposta

Uma escolha de M que diagonaliza A é
M = \begin{pmatrix}4 & 1 \\[3pt] 3 & -1\end{pmatrix},
e a matriz diagonal resultante é
D = \begin{pmatrix}5 & 0 \\[3pt] 0 & -2\end{pmatrix}.]

Exercícios relacionados