Determine se as matrizes abaixo são diagonalizáveis. Em caso afirmativo, determine uma matriz M que realiza a diagonalização e determine a matriz diagonal resultante.
\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \\\\ -1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 2 & 2\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ -1& 2 & 1\\\\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}
é diagonalizável. Lembrando que uma matriz n\times n é diagonalizável se existir uma base de \mathbb{R}^n formada por autovetores de A, ou seja, se a soma das dimensões dos espaços próprios for n.

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico
p(\lambda)=\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 & 1\\\\ -1 & 2-\lambda & 1\\\\ 0 & 2 & 2-\lambda \end{pmatrix}.
Expandindo, obtemos
p(\lambda)=-\bigl(\lambda^3-5\lambda^2+8\lambda-4\bigr) =-(\lambda-1)(\lambda^2-4\lambda+4) =-(\lambda-1)(\lambda-2)^2.

Passo 3

As raízes de p(\lambda)=0 são
\lambda=1\quad(\text{multiplicidade algébrica }1), \quad \lambda=2\quad(\text{multiplicidade algébrica }2).éé

Passo 4

Para \lambda=1, resolvemos (A-I)v=0:
(A-I)=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 1\\\\ -1& 1 & 1\\\\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} \implies v=t\,(-1,1,-2),\;t\neq0.
Logo \dim E_{1}=1.
Para \lambda=2, resolvemos (A-2I)v=0:
(A-2I)=\begin{pmatrix} -1& 2 & 1\\\\ -1& 0 & 1\\\\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix} \implies v=s\,(1,0,1),\;s\neq0.
Logo \dim E_{2}=1, embora a multiplicidade algébrica de \lambda=2 seja 2.

Passo 5

A soma das dimensões dos espaços próprios é
\dim E_{1}+\dim E_{2}=1+1=2<3,
ou seja, não há base de \mathbb{R}^3 formada por autovetores de A. Portanto, A não é diagonalizável.

Resposta

A matriz não é diagonalizável.

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