( 2 pontos) Considere o espaço vetorial
.
(a) Use as propriedades de integral definida para mostrar que a operação
, em que
, é um produto interno em
.
(b) Usando o produto interno do item anterior, calcule o ângulo entre os polinômios
e
.
(a) Use as propriedades de integral definida para mostrar que a operação
(b) Usando o produto interno do item anterior, calcule o ângulo entre os polinômios
Passo 1
O enunciado apresenta o espaço vetorial
de polinômios de grau até 3 e define a forma
No item (a) vamos verificar as três propriedades de produto interno: simetria, linearidade no primeiro argumento e positividade definida. No item (b) usaremos
para encontrar o ângulo entre
e
.
Passo 2
Simetria: para quaisquer
vale
Passo 3
Linearidade no primeiro argumento: dado
e
,
Passo 4
Positividade definida: para todo
em
,
e a igualdade só ocorre se
para todo
, ou seja,
é o polinômio zero. Logo a forma é um produto interno.
Passo 5
Para o item (b), usamos
Passo 6
Cálculo de
:
Passo 7
Cálculo de
:
Passo 8
Cálculo de
:
Passo 9
Cálculo do ângulo
:
Resposta
(a) A forma
satisfaz simetria, linearidade e positividade definida, logo é um produto interno.
(b) O ângulo entre e
é
(b) O ângulo entre