( 2 pontos) Considere o espaço vetorial \left(\mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}),+, \cdot\right).
(a) Use as propriedades de integral definida para mostrar que a operação \int_{0}^{1} f(t) g(t) d t, em que f, g \in \mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}), é um produto interno em \left(\mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}),+, \cdot\right).
(b) Usando o produto interno do item anterior, calcule o ângulo entre os polinômios p_{1}(t)=5 e p_{2}(t)= -t^{3}+2 t+2.

Passo 1

O enunciado apresenta o espaço vetorial \mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}) de polinômios de grau até 3 e define a forma
\langle f,g\rangle = \int_{0}^{1}f(t)\,g(t)\,dt.
No item (a) vamos verificar as três propriedades de produto interno: simetria, linearidade no primeiro argumento e positividade definida. No item (b) usaremos
\cos\theta = \frac{\langle p_{1},p_{2}\rangle}{\|p_{1}\|\;\|p_{2}\|}
para encontrar o ângulo entre p_{1}(t)=5 e p_{2}(t)=-t^{3}+2t+2.

Passo 2

Simetria: para quaisquer f,g\in\mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}) vale
\langle f,g\rangle =\int_{0}^{1}f(t)\,g(t)\,dt =\int_{0}^{1}g(t)\,f(t)\,dt =\langle g,f\rangle.

Passo 3

Linearidade no primeiro argumento: dado a,b\in\mathbb{R} e f,h,g\in\mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}),
\langle a\,f + b\,h,\;g\rangle =\int_{0}^{1}\bigl(a\,f(t)+b\,h(t)\bigr)g(t)\,dt =a\int_{0}^{1}f(t)g(t)\,dt +b\int_{0}^{1}h(t)g(t)\,dt =a\langle f,g\rangle + b\langle h,g\rangle.

Passo 4

Positividade definida: para todo f\neq 0 em \mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}),
\langle f,f\rangle =\int_{0}^{1}f(t)^{2}\,dt \ge 0
e a igualdade só ocorre se f(t)=0 para todo t\in[0,1], ou seja, f é o polinômio zero. Logo a forma é um produto interno.

Passo 5

Para o item (b), usamos
\cos\theta = \frac{\langle p_{1},p_{2}\rangle}{\|p_{1}\|\;\|p_{2}\|}, \quad \|p\| = \sqrt{\langle p,p\rangle}.

Passo 6

Cálculo de \langle p_{1},p_{2}\rangle:
\langle p_{1},p_{2}\rangle =\int_{0}^{1}5\bigl(-t^{3}+2t+2\bigr)\,dt =\int_{0}^{1}\bigl(-5t^{3}+10t+10\bigr)\,dt =\Bigl[-\tfrac{5}{4}t^{4}+5t^{2}+10t\Bigr]_{0}^{1} =-\tfrac{5}{4}+5+10 =\tfrac{55}{4}.

Passo 7

Cálculo de \|p_{1}\|:
\|p_{1}\|^{2} =\langle p_{1},p_{1}\rangle =\int_{0}^{1}25\,dt =25, \quad \|p_{1}\|=5.

Passo 8

Cálculo de \|p_{2}\|:
\|p_{2}\|^{2} =\int_{0}^{1}(-t^{3}+2t+2)^{2}\,dt =\int_{0}^{1}\bigl(t^{6}-4t^{4}-4t^{3}+4t^{2}+8t+4\bigr)\,dt =\frac{1}{7}-\frac{4}{5}-1+\frac{4}{3}+4+4 =\frac{806}{105},
\|p_{2}\|=\sqrt{\frac{806}{105}}.

Passo 9

Cálculo do ângulo \theta:
\cos\theta =\frac{\frac{55}{4}}{5\;\sqrt{\tfrac{806}{105}}} =\frac{11}{4}\,\sqrt{\frac{105}{806}},
\theta = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\tfrac{11}{4}\sqrt{\tfrac{105}{806}}\Bigr) \approx 0{,}122\text{ rad}\quad(\approx 7{,}0^\circ).

Resposta

(a) A forma \langle f,g\rangle = \int_{0}^{1}f(t)g(t)\,dt satisfaz simetria, linearidade e positividade definida, logo é um produto interno.
(b) O ângulo entre p_{1}(t)=5 e p_{2}(t)=-t^{3}+2t+2 é
\theta = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\tfrac{11}{4}\sqrt{\tfrac{105}{806}}\Bigr) \approx 0{,}122\text{ rad}\,(\approx 7{,}0^\circ).

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