Questão 26: Seja
o conjunto de todos os pares ordenados de números reais. Definamos a adição e a multiplicação por escalar em
por
é um espaço vetorial com estas operações? Justifique.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com as operações
Precisamos verificar se as oito propriedades de espaço vetorial (fechamento, associatividade, comutatividade, neutro, inverso para
; fechamento, identidade escalar, compatibilidade de escalares, distributividades para
) são todas satisfeitas.
Passo 2
As propriedades relativas apenas à adição
coincidem com as do
usual, logo fechamento, comutatividade, associatividade, existência do neutro
e de inversos
estão garantidas.
Passo 3
Verificamos agora a distributividade da soma de escalares sobre o produto escalar, ou seja, a propriedade
De um lado
Do outro lado
Passo 4
Como
para todo
(salvo quando
), a distributividade acima falha em geral.