Questão 26: Seja \mathbb{V} o conjunto de todos os pares ordenados de números reais. Definamos a adição e a multiplicação por escalar em \mathbb{V} por
\begin{gathered} \left(x_{1}, x_{2}\right) \oplus\left(y_{1}, y_{2}\right)=\left(x_{1}+y_{1}, x_{2}+y_{2}\right) \\\ \alpha \odot\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(\alpha x_{1}, x_{2}\right) \end{gathered}
\mathbb{V} é um espaço vetorial com estas operações? Justifique.

Passo 1

O enunciado define o conjunto \mathbb{V} = \{(x_{1},x_{2})\mid x_{1},x_{2}\in\mathbb{R}\} com as operações
(x_{1},x_{2})\oplus(y_{1},y_{2}) = (x_{1}+y_{1},\,x_{2}+y_{2}),
\alpha\odot(x_{1},x_{2}) = (\alpha x_{1},\,x_{2}).
Precisamos verificar se as oito propriedades de espaço vetorial (fechamento, associatividade, comutatividade, neutro, inverso para \oplus; fechamento, identidade escalar, compatibilidade de escalares, distributividades para \odot) são todas satisfeitas.

Passo 2

As propriedades relativas apenas à adição \oplus coincidem com as do \mathbb{R}^{2} usual, logo fechamento, comutatividade, associatividade, existência do neutro (0,0) e de inversos ( -x_{1},-x_{2}) estão garantidas.

Passo 3

Verificamos agora a distributividade da soma de escalares sobre o produto escalar, ou seja, a propriedade
(\alpha+\beta)\odot(x_{1},x_{2}) \;=\; \alpha\odot(x_{1},x_{2})\;\oplus\;\beta\odot(x_{1},x_{2}).
De um lado
(\alpha+\beta)\odot(x_{1},x_{2}) = \bigl((\alpha+\beta)x_{1},\,x_{2}\bigr).
Do outro lado
\alpha\odot(x_{1},x_{2}) \oplus \beta\odot(x_{1},x_{2}) = (\alpha x_{1},x_{2})\;\oplus\;(\beta x_{1},x_{2}) = (\alpha x_{1}+\beta x_{1},\,x_{2}+x_{2}) = \bigl((\alpha+\beta)x_{1},\,2x_{2}\bigr).

Passo 4

Como
\bigl((\alpha+\beta)x_{1},\,x_{2}\bigr) \neq \bigl((\alpha+\beta)x_{1},\,2x_{2}\bigr)
para todo (x_{1},x_{2}) (salvo quando x_{2}=0), a distributividade acima falha em geral.

Resposta

\mathbb{V} não é espaço vetorial, pois não satisfaz a propriedade
(\alpha+\beta)\odot v = \alpha\odot v \;\oplus\;\beta\odot v.

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