( 2,5 pontos) Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F). Justifique cada resposta.
(a) Seja
um espaço vetorial de dimensão 3 e
um operador linear. Então
é diagonalizável se e somente se
possui três autovalores distintos.
(b) Seja
um subespaço vetorial de
. O complemento ortogonal
possui dimensão 1.
(c) A operação
para
e
define um produto interno em
.
(d) Considere o subespaço vetorial
de
, com
e
. Então o vetor
é ortogonal a
e a
para qualquer vetor
.
(a) Seja
(b) Seja
(c) A operação
(d) Considere o subespaço vetorial
Passo 1
O enunciado pede para classificar como verdadeira (V) ou falsa (F) quatro afirmações sobre: (a) diagonalização de operador linear em dimensão 3; (b) dimensão de complemento ortogonal em
; (c) se um dado produto bilinear é um produto interno; (d) ortogonalidade gerada por uma fórmula semelhante a Gram–Schmidt. Vamos analisar cada caso.
Passo 2
Afirmação (a): “Seja
de dimensão 3 e
linear. Então
é diagonalizável se e somente se
possui três autovalores distintos.”
Um teorema diz que se um operador em dimensão 3 tem três autovalores distintos, então é diagonalizável. Contudo, o recíproco não vale: um operador pode ser diagonalizável mesmo tendo autovalores repetidos, desde que cada autovalor repetido tenha multiplicidade geométrica igual à multiplicidade algébrica.
Exemplo: a transformação identidade em tem um único autovalor
de multiplicidade algébrica 3, mas é claramente diagonalizável. Logo, a afirmação “se e somente se” é falsa.
Um teorema diz que se um operador em dimensão 3 tem três autovalores distintos, então é diagonalizável. Contudo, o recíproco não vale: um operador pode ser diagonalizável mesmo tendo autovalores repetidos, desde que cada autovalor repetido tenha multiplicidade geométrica igual à multiplicidade algébrica.
Exemplo: a transformação identidade em
Passo 3
Afirmação (b): “Seja
. Então
possui dimensão 1.”
A equação define um plano em
, que é um subespaço de dimensão 2. Pelo teorema do complemento ortogonal num espaço euclidiano de dimensão 3,
A equação
portanto
. A afirmação é verdadeira.
Passo 4
Afirmação (c): “A operação
define um produto interno em
.”
Para ser produto interno é preciso, entre outros, para todo
. Mas
Para ser produto interno é preciso, entre outros,
violando a positividade. Logo não é produto interno. A afirmação é falsa.
Passo 5
Afirmação (d): “Se
com
,
e
então
é ortogonal a
e a
para todo
.”
Isto seria correto se usássemos o procedimento de Gram–Schmidt com vetores normalizados, mas aqui não normalizamos nem
. De fato, calculando
Isto seria correto se usássemos o procedimento de Gram–Schmidt com vetores normalizados, mas aqui não normalizamos
não resulta zero em geral (por exemplo, basta escolher
tal que
). Assim
não fica ortogonal a
nem a
para todo
. A afirmação é falsa.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)