( 2,5 pontos) Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F). Justifique cada resposta.
(a) Seja V um espaço vetorial de dimensão 3 e T: V \rightarrow V um operador linear. Então T é diagonalizável se e somente se T possui três autovalores distintos.
(b) Seja W=\{(x, y, z) ; x-2 y+3 z=0\} um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}. O complemento ortogonal W^{\perp} possui dimensão 1.
(c) A operação \langle u, v\rangle=x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}-z_{1} z_{2} para u=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right) e v=\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right) define um produto interno em \mathbb{R}^{3}.
(d) Considere o subespaço vetorial W=\left[v_{1}, v_{2}\right] de \mathbb{R}^{3}, com v_{1}=(1,1,1) e v_{2}=(0,1,0). Então o vetor
w=v-\left\langle v, v_{1}\right\rangle v_{1}-\left\langle v, v_{2}\right\rangle v_{2}
é ortogonal a v_{1} e a v_{2} para qualquer vetor v=(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para classificar como verdadeira (V) ou falsa (F) quatro afirmações sobre: (a) diagonalização de operador linear em dimensão 3; (b) dimensão de complemento ortogonal em \mathbb{R}^3; (c) se um dado produto bilinear é um produto interno; (d) ortogonalidade gerada por uma fórmula semelhante a Gram–Schmidt. Vamos analisar cada caso.

Passo 2

Afirmação (a): “Seja V de dimensão 3 e T:V\to V linear. Então T é diagonalizável se e somente se T possui três autovalores distintos.”
Um teorema diz que se um operador em dimensão 3 tem três autovalores distintos, então é diagonalizável. Contudo, o recíproco não vale: um operador pode ser diagonalizável mesmo tendo autovalores repetidos, desde que cada autovalor repetido tenha multiplicidade geométrica igual à multiplicidade algébrica.
Exemplo: a transformação identidade em V tem um único autovalor \lambda=1 de multiplicidade algébrica 3, mas é claramente diagonalizável. Logo, a afirmação “se e somente se” é falsa.

Passo 3

Afirmação (b): “Seja W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x-2y+3z=0\}. Então \;W^\perp possui dimensão 1.”
A equação x-2y+3z=0 define um plano em \mathbb{R}^3, que é um subespaço de dimensão 2. Pelo teorema do complemento ortogonal num espaço euclidiano de dimensão 3,
\dim W + \dim W^\perp = 3,
portanto \dim W^\perp = 3-2=1. A afirmação é verdadeira.

Passo 4

Afirmação (c): “A operação \langle u,v\rangle = x_1x_2 + y_1y_2 - z_1z_2 define um produto interno em \mathbb{R}^3.”
Para ser produto interno é preciso, entre outros, \langle u,u\rangle>0 para todo u\neq0. Mas
\langle (0,0,1),(0,0,1)\rangle = 0\cdot0+0\cdot0-1\cdot1 = -1 < 0,
violando a positividade. Logo não é produto interno. A afirmação é falsa.

Passo 5

Afirmação (d): “Se W=[v_1,v_2] com v_1=(1,1,1), v_2=(0,1,0) e
w = v - \langle v,v_1\rangle v_1 - \langle v,v_2\rangle v_2,
então w é ortogonal a v_1 e a v_2 para todo v=(x,y,z).”
Isto seria correto se usássemos o procedimento de Gram–Schmidt com vetores normalizados, mas aqui não normalizamos v_1 nem v_2. De fato, calculando
\langle w,v_1\rangle = \langle v,v_1\rangle - \langle v,v_1\rangle\langle v_1,v_1\rangle - \langle v,v_2\rangle\langle v_2,v_1\rangle
não resulta zero em geral (por exemplo, basta escolher v tal que \langle v,v_1\rangle\neq0). Assim w não fica ortogonal a v_1 nem a v_2 para todo v. A afirmação é falsa.

Resposta

(a) F
(b) V
(c) F
(d) F

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