Determine quais matrizes abaixo são diagonalizáveis.
A=(ccc0 & 0 & 2 0 & -1 & 0 2 & 0 & 0).

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 0 & 0 & 2 0 & -1 & 0 2 & 0 & 0
e pede para verificar se A é diagonalizável. O conteúdo envolvido é diagonalização de matrizes reais: precisamos calcular o polinômio característico, encontrar seus autovalores e checar se a multiplicidade geométrica de cada um coincide com a multiplicidade algébrica.

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) =det -lambda & 0 & 2 0 & -1-lambda & 0 2 & 0 & -lambda
Expandindo pelo pivô -1-lambda (segunda linha, segunda coluna), obtemos
det(A - lambda I) =(-1-lambda)det -lambda & 2 2 & -lambda =(-1-lambda)l(lambda^2 - 4r)

Passo 3

As raízes do polinômio
(-1-lambda)(lambda^2-4)=0
são
lambda = -1, lambda^2-4=0implies lambda=2,,-2

Passo 4

Como os três autovalores -1, 2 e -2 são distintos, cada um gera um autovetor linearmente independente. Logo temos três autovetores independentes em R^3, o que garante que A é diagonalizável.

Resposta

A matriz A é diagonalizável.

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