Sejam T: V e S: V V operadores lineares, em que V é um R - espaço vetorial de dimensão finita.
(a) Se v é um autovetor de T associado ao autovalor lambda e alpha é um escalar não nulo, quais são os autovalores e autovetores de alpha T ?
(b) Se v é um autovetor de T e de S, associado respectivamente aos autovalores lambda1 e lambda2, quais são os autovalores e autovetores de S+T e S circ T.

Passo 1

O enunciado fala de dois operadores lineares T,S:Vto V num espaço vetorial real de dimensão finita.
No item (a) sabemos que vneq0 satisfaz
T(v)=lambda v
e queremos achar os autovalores e autovetores de alpha T, onde alphaneq0.
No item (b) sabemos que o mesmo vetor vneq0 é autovetor de T e de S, isto é
T(v)=lambda1v, S(v)=lambda2v,
e queremos achar os autovalores e autovetores de S+T e de Scirc T.
Para resolver vamos usar apenas a definição de autovalor/autovetor e propriedades básicas de soma e composição de operadores lineares.

Passo 2

(a) Como alpha T é o operador que associa a cada xin V o vetor alpha,T(x), ao aplicá-lo em v temos
(alpha T)(v)=alpha,T(v)=alpha,(lambda v)=(alphalambda),v
Logo v continua sendo autovetor e o autovalor correspondente é alphalambda.

Passo 3

(b1) Para o operador soma S+T definimos
(S+T)(v)=S(v)+T(v)=lambda2v+lambda1v=(lambda1+lambda2),v
Isto mostra que v é autovetor de S+T com autovalor lambda1+lambda2.

Passo 4

(b2) Para a composição Scirc T aplicamos primeiro T e depois S:
(Scirc T)(v)=Sl(T(v)r)=S(lambda1v)=lambda1,S(v)=lambda1(lambda2v)=(lambda1lambda2),v
Logo v é autovetor de Scirc T com autovalor lambda1lambda2.

Resposta

(a) O autovalor de alpha T é alphalambda e o autovetor é v.
(b) O autovalor de S+T é lambda1+lambda2 e o autovalor de Scirc T é lambda1lambda2; em ambos os casos o autovetor é v.

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