Sejam
e
operadores lineares, em que
é um
- espaço vetorial de dimensão finita.
(a) Se
é um autovetor de
associado ao autovalor
e
é um escalar não nulo, quais são os autovalores e autovetores de
?
(b) Se
é um autovetor de
e de
, associado respectivamente aos autovalores
e
, quais são os autovalores e autovetores de
e
.
(a) Se
(b) Se
Passo 1
O enunciado fala de dois operadores lineares
num espaço vetorial real de dimensão finita.
No item (a) sabemos que satisfaz
No item (a) sabemos que
e queremos achar os autovalores e autovetores de
, onde
.
No item (b) sabemos que o mesmo vetor é autovetor de
e de
, isto é
No item (b) sabemos que o mesmo vetor
e queremos achar os autovalores e autovetores de
e de
.
Para resolver vamos usar apenas a definição de autovalor/autovetor e propriedades básicas de soma e composição de operadores lineares.
Para resolver vamos usar apenas a definição de autovalor/autovetor e propriedades básicas de soma e composição de operadores lineares.
Passo 2
(a) Como
é o operador que associa a cada
o vetor
, ao aplicá-lo em
temos
Logo
continua sendo autovetor e o autovalor correspondente é
.
Passo 3
(b1) Para o operador soma
definimos
Isto mostra que
é autovetor de
com autovalor
.
Passo 4
(b2) Para a composição
aplicamos primeiro
e depois
:
Logo
é autovetor de
com autovalor
.
Resposta
(a) O autovalor de
é
e o autovetor é
.
(b) O autovalor de é
e o autovalor de
é
; em ambos os casos o autovetor é
.
(b) O autovalor de