Determine quais matrizes abaixo são diagonalizáveis.
A=(ccc1 & 0 & 0 1 & 1 & -2 0 & 1 & -1).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 1 & 0 & 0 1 & 1 & -2 0 & 1 & -1
é diagonalizável. O conteúdo que vamos usar é o de diagonalização de matrizes: devemos calcular o polinômio característico de A, encontrar seus autovalores e verificar se há três autovetores linearmente independentes (sobre R ou sobre C).

Passo 2

Para obter o polinômio característico, calculamos
det(A - lambda I) = det 1-lambda & 0 & 0 1 & 1-lambda & -2 0 & 1 & -1-lambda
Expandindo pela primeira linha, temos
det(A - lambda I) =(1-lambda)det 1-lambda & -2 1 & -1-lambda
Agora
det 1-lambda & -2 1 & -1-lambda =(1-lambda)(-1-lambda)-(-2)cdot1 =l((1-lambda)(-1-lambda)r)+2
Como (1-lambda)(-1-lambda)=lambda^2-1, segue que
det(A - lambda I) =(1-lambda)l(lambda^2-1+2r) =(1-lambda)(lambda^2+1)

Passo 3

O polinômio característico é
det(A - lambda I) = -( lambda -1 )(lambda^2+1)
Os autovalores são as raízes de (lambda -1)(lambda^2+1)=0, ou seja,
lambda1 = 1, lambda2 = i, lambda3 = -i

Passo 4

Os três autovalores são distintos quando consideramos o corpo C. Portanto, sobre C a matriz A possui três autovetores linearmente independentes e é diagonalizável. Já sobre R, apenas lambda=1 é real; os autovalores i e -i não pertencem a R, de modo que não se obtém três autovetores reais independentes. Logo, A não é diagonalizável sobre R.

Resposta

A matriz A não é diagonalizável sobre R, mas é diagonalizável sobre C.

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