Determine quais matrizes abaixo são diagonalizáveis. .
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 1 & 0 & 0 1 & 1 & -2 0 & 1 & -1
é diagonalizável. O conteúdo que vamos usar é o de diagonalização de matrizes: devemos calcular o polinômio característico de A, encontrar seus autovalores e verificar se há três autovetores linearmente independentes (sobre R ou sobre C).
Os autovalores são as raízes de (lambda -1)(lambda^2+1)=0, ou seja,
lambda1 = 1, lambda2 = i, lambda3 = -i
Passo 4
Os três autovalores são distintos quando consideramos o corpo C. Portanto, sobre C a matriz A possui três autovetores linearmente independentes e é diagonalizável. Já sobre R, apenas lambda=1 é real; os autovalores i e -i não pertencem a R, de modo que não se obtém três autovetores reais independentes. Logo, A não é diagonalizável sobre R.
Resposta
A matriz A não é diagonalizável sobre R, mas é diagonalizável sobre C.