Determine quais das matrizes abaixo são inversíveis. Em caso afirmativo, determine a inversa.
\left[\begin{array}{lll}5 & 3 & 2 \\\\ 0 & 7 & 1 \\\\ 0 & 0 & 9\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz triangular superior
A=\begin{pmatrix} 5 & 3 & 2\\\\ 0 & 7 & 1\\\\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}
e pede para verificar se ela é inversível (usando determinante) e, em caso afirmativo, encontrar A^{-1} (por retro-substituição).

Passo 2

Como A é triangular,
\det(A)=5\cdot7\cdot9=315\neq0,
então A é inversível.

Passo 3

Sabemos que a inversa de uma matriz triangular superior também é triangular superior. Logo escrevemos
A^{-1}=\begin{pmatrix} b_{11}&b_{12}&b_{13}\\\\ 0&b_{22}&b_{23}\\\\ 0&0&b_{33} \end{pmatrix}
e impomos A\,A^{-1}=I, igualando entrada a entrada para obter um sistema que se resolve de cima para baixo (retro-substituição).

Passo 4

Da posição (1,1) em A\,A^{-1}=I vem
5\,b_{11}=1 \quad\Longrightarrow\quad b_{11}=\frac15.
Da posição (2,2) vem
7\,b_{22}=1 \quad\Longrightarrow\quad b_{22}=\frac17,
e da posição (3,3) vem
9\,b_{33}=1 \quad\Longrightarrow\quad b_{33}=\frac19.

Passo 5

Da posição (1,2) em A\,A^{-1}=I:
5\,b_{12}+3\,b_{22}=0 \quad\Longrightarrow\quad b_{12}=-\frac{3}{5}b_{22}=-\frac{3}{5}\cdot\frac17=-\frac{3}{35}.

Passo 6

Da posição (2,3) em A\,A^{-1}=I:
7\,b_{23}+1\,b_{33}=0 \quad\Longrightarrow\quad b_{23}=-\frac{b_{33}}{7}=-\frac{1}{7}\cdot\frac19=-\frac1{63}.
Da posição (1,3) em A\,A^{-1}=I:
5\,b_{13}+3\,b_{23}+2\,b_{33}=0 \quad\Longrightarrow\quad 5\,b_{13}=-\bigl(3\,b_{23}+2\,b_{33}\bigr) =-\Bigl(3\cdot(-\tfrac1{63})+2\cdot\tfrac19\Bigr) =-\Bigl(-\tfrac1{21}+\tfrac2{9}\Bigr) =-\tfrac{11}{63},
portanto
b_{13}=-\frac{11}{63}\cdot\frac15=-\frac{11}{315}.

Resposta

A matriz é inversível e
A^{-1}=\begin{pmatrix} \frac15 & -\frac{3}{35} & -\frac{11}{315}\\[0.3em] 0 & \frac17 & -\frac1{63}\\[0.3em] 0 & 0 & \frac19 \end{pmatrix}.]

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