Obtenha X e Y a partir do sistema:
\left\{\begin{array}{l} 2 X+3 Y=A+B \\\\ 3 X+4 Y=A-B \end{array} \text { em que } A=\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 3 \\\\ 9 \end{array}\right] \text { e } B=\left[\begin{array}{l} 2 \\\\ 5 \\\\ 0 \end{array}\right]\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de equações vetoriais
\left\{\begin{array}{l} 2X+3Y=A+B,\\[4pt] 3X+4Y=A-B, \end{array}\right.
onde os vetores A e B são
A=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\\[4pt]9\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}2\\[4pt]5\\[4pt]0\end{pmatrix}.
O que o problema pede: encontrar os vetores X e Y (cada um com 3 componentes) que satisfazem simultaneamente as duas equações acima.
Informações relevantes fornecidas:
  • As incógnitas X e Y são vetores coluna com três componentes (mesma dimensão de A e B).
  • As equações envolvem combinações lineares escalares de X e Y igualadas a combinações dos vetores dados A e B.]

Passo 2

Interpretação e estratégia de resolução (sem computação ainda).
Podemos ver o sistema como um sistema linear com coeficientes escalares agindo sobre vetores: se definirmos o vetor incógnita \begin{pmatrix}X\\[4pt]Y\end{pmatrix} (aqui cada entrada é um vetor em \mathbb{R}^3), a parte dos coeficientes forma a matriz 2\times2
C=\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt]3 & 4\end{pmatrix},
e o lado direito é o vetor coluna de vetores
\begin{pmatrix}A+B\\[4pt]A-B\end{pmatrix}.
Assim, podemos resolver obtendo
\begin{pmatrix}X\\[4pt]Y\end{pmatrix} = C^{-1}\begin{pmatrix}A+B\\[4pt]A-B\end{pmatrix},
ou seja, precisamos calcular a inversa da matriz C e aplicá‑la ao lado direito. Vou mostrar passo a passo como encontrar C^{-1} e então obter X e Y.]

Passo 3

Cálculo do determinante de C e da inversa de uma matriz 2\times2.
Para uma matriz 2\times2,
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix},
o determinante é \det = ad-bc e a inversa (quando \det\neq0) é
\frac{1}{\det}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{pmatrix}.
Aplicando isso a
C=\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt]3 & 4\end{pmatrix},
calculamos o determinante:
\det\text{(C)}=2\cdot4-3\cdot3=8-9=-1.
Como \det\text{(C)}=-1\neq0, a inversa existe. Então
C^{-1}=\frac{1}{-1}\begin{pmatrix}4 & -3\\[4pt]-3 & 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-4 & 3\\[4pt]3 & -2\end{pmatrix}.]

Passo 4

Aplicar C^{-1} ao lado direito para obter X e Y em termos de A e B.
Escrevendo
\begin{pmatrix}X\\[4pt]Y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4 & 3\\[4pt]3 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}A+B\\[4pt]A-B\end{pmatrix},
fazemos a multiplicação de blocos (cada entrada escala os vetores):
  • A primeira linha dá X:
X = -4\,(A+B) + 3\,(A-B).
  • A segunda linha dá Y:
Y = 3\,(A+B) -2\,(A-B).]

Passo 5

Simplificar as expressões encontradas para X e Y (combinar termos com A e B).
Calculemos termo a termo:
Para X:
X = -4A -4B +3A -3B = (-4+3)A + (-4-3)B = -A -7B.
Para Y:
Y = 3A +3B -2A +2B = (3-2)A + (3+2)B = A +5B.
Portanto obtivemos fórmulas diretas:
X = -A -7B,\qquad Y = A +5B.
Aqui vale lembrar: multiplicação de escalares por vetores significa multiplicar cada componente do vetor pelo escalar; soma/subtração de vetores é componente a componente.

Passo 6

Substituir os vetores A e B dados e calcular componente a componente.
Dado
A=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\\[4pt]9\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}2\\[4pt]5\\[4pt]0\end{pmatrix},
vamos calcular X=-A-7B e Y=A+5B.
Calcule -A e -7B:
-A=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-3\\[4pt]-9\end{pmatrix},\qquad -7B = -7\begin{pmatrix}2\\[4pt]5\\[4pt]0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-14\\[4pt]-35\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Somando para X:
X = -A -7B = \begin{pmatrix}-1\\[4pt]-3\\[4pt]-9\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}-14\\[4pt]-35\\[4pt]0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-15\\[4pt]-38\\[4pt]-9\end{pmatrix}.
Calcule 5B e some com A para Y:
5B = 5\begin{pmatrix}2\\[4pt]5\\[4pt]0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}10\\[4pt]25\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Y = A +5B = \begin{pmatrix}1\\[4pt]3\\[4pt]9\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}10\\[4pt]25\\[4pt]0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}11\\[4pt]28\\[4pt]9\end{pmatrix}.]

Passo 7

Verificação rápida (substituir X e Y nas equações originais para conferir consistência).
Calcule 2X+3Y:
2X = 2\begin{pmatrix}-15\\[4pt]-38\\[4pt]-9\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-30\\[4pt]-76\\[4pt]-18\end{pmatrix}, \qquad 3Y = 3\begin{pmatrix}11\\[4pt]28\\[4pt]9\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}33\\[4pt]84\\[4pt]27\end{pmatrix}.
2X+3Y = \begin{pmatrix}-30+33\\[4pt]-76+84\\[4pt]-18+27\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\\[4pt]8\\[4pt]9\end{pmatrix}.
Agora calcule A+B:
A+B=\begin{pmatrix}1+2\\[4pt]3+5\\[4pt]9+0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\\[4pt]8\\[4pt]9\end{pmatrix}.
Logo 2X+3Y=A+B está confirmado.
Calcule 3X+4Y:
3X = 3\begin{pmatrix}-15\\[4pt]-38\\[4pt]-9\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-45\\[4pt]-114\\[4pt]-27\end{pmatrix}, \qquad 4Y = 4\begin{pmatrix}11\\[4pt]28\\[4pt]9\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}44\\[4pt]112\\[4pt]36\end{pmatrix}.
3X+4Y = \begin{pmatrix}-45+44\\[4pt]-114+112\\[4pt]-27+36\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-2\\[4pt]9\end{pmatrix}.
Agora calcule A-B:
A-B=\begin{pmatrix}1-2\\[4pt]3-5\\[4pt]9-0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-2\\[4pt]9\end{pmatrix}.
Logo 3X+4Y=A-B também está confirmado. Tudo consistente.]

Resposta

X=\begin{pmatrix}-15\\[4pt]-38\\[4pt]-9\end{pmatrix}
Y=\begin{pmatrix}11\\[4pt]28\\[4pt]9\end{pmatrix}]

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