Determine as matrizes das transformações lineares em relação às bases canônicas dos respectivos espaços:

Passo 1

Estamos lidando com a transformação linear T: P3(R) to P2(R) dada por T(p(x)) = p'(x). O que precisamos: usar as bases canônicas de P3, que é 1, x, x^2, x^3, e de P2, que é 1, x, x^2, e entender a regra de derivada para montar a matriz.

Passo 2

Primeiro, aplicamos T a cada vetor da base de P3. Sabemos que a derivada de polinômios é:
T(1) = (1)' = 0, T(x) = (x)' = 1, T(x^2) = (x^2)' = 2x, T(x^3) = (x^3)' = 3x^2

Passo 3

Em seguida, expressamos cada resultado na base canônica de P2. Como a base é 1, x, x^2, temos as coordenadas:
T(1) = 0 = 0cdot1 + 0cdot x + 0cdot x^2 mapsto 000,
T(x) = 1 = 1cdot1 + 0cdot x + 0cdot x^2 mapsto 100,
T(x^2) = 2x = 0cdot1 + 2cdot x + 0cdot x^2 mapsto 020,
$$T(x^3) = 3x^2 = 0\cdot1 + 0\cdot x + 3\cdot x^2 \mapsto T(x^3) = 3x^2 = 0cdot1 + 0cdot x + 3cdot x^2 mapsto 003 .
$$

Passo 4

Por fim, montamos a matriz colocando essas coordenadas como colunas, seguindo a ordem da base de P3 ( 1,x,x^2,x^3).

Resposta

A matriz de T nas bases canônicas é
0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 3

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