Sejam
e
conjuntos. Demonstre dando uma prova matemática ou refute dando um contraexemplo:
.
Passo 1
O enunciado pergunta se para quaisquer conjuntos
vale a igualdade
. O conteúdo aqui é diferença de conjuntos e vamos precisar usar a definição de
.
Passo 2
Vamos lembrar da definição de diferença de conjuntos para analisar os dois lados. Para um elemento
:
-
se e somente se e . Mas significa que ou . -
se e somente se e . E significa e .
Passo 3
Então podemos traduzir:
Já
Passo 4
Comparando as condições, vemos que no primeiro caso o elemento
pode pertencer a
(desde que esteja em
e não em
), enquanto no segundo caso exigimos que
não esteja em
. Logo, em geral essas duas condições não coincidem.
Passo 5
Para refutar a igualdade, basta escolher um contraexemplo simples. Tome por exemplo:
Então:
(a - (b - c) = a - {1} = {2,3}.
Já
((a - b) - c = {3} - {2} = {3}.
Como
, a igualdade falha.
Passo 6
Com isso mostramos via contraexemplo que em geral
.
Resposta
A igualdade não vale em geral. Contraexemplo: com
a = {1,2,3}, b = {1,2}, c = {2}
tem a - (b - c) = {2,3} e (a - b) - c = {3}, logo são diferentes.
a = {1,2,3}, b = {1,2}, c = {2}
tem a - (b - c) = {2,3} e (a - b) - c = {3}, logo são diferentes.