Sejam a, b e c conjuntos. Demonstre dando uma prova matemática ou refute dando um contraexemplo:
a-(b-c)=(a-b)-c.

Passo 1

O enunciado pergunta se para quaisquer conjuntos a,b,c vale a igualdade a - (b - c) = (a - b) - c. O conteúdo aqui é diferença de conjuntos e vamos precisar usar a definição de X - Y = x mid x in X e x notin Y.

Passo 2

Vamos lembrar da definição de diferença de conjuntos para analisar os dois lados. Para um elemento x:
  • x in a - (b - c) se e somente se x in a e x notin (b - c). Mas x notin (b - c) significa que x notin b ou x in c.
  • x in (a - b) - c se e somente se x in (a - b) e x notin c. E x in (a - b) significa x in a e x notin b.

Passo 3

Então podemos traduzir:
x in a - (b - c) iff x in a e (x notin b ou x in c).
x in (a - b) - c iff x in a e x notin b e x notin c.

Passo 4

Comparando as condições, vemos que no primeiro caso o elemento x pode pertencer a c (desde que esteja em a e não em b), enquanto no segundo caso exigimos que x não esteja em c. Logo, em geral essas duas condições não coincidem.

Passo 5

Para refutar a igualdade, basta escolher um contraexemplo simples. Tome por exemplo:
a = 1,2,3, b = 1,2, c = 2
Então:
b - c = 1, logo
(a - (b - c) = a - {1} = {2,3}.
a - b = 3, e retirando c:
((a - b) - c = {3} - {2} = {3}.
Como 2,3 neq 3, a igualdade falha.

Passo 6

Com isso mostramos via contraexemplo que em geral a - (b - c) neq (a - b) - c.

Resposta

A igualdade não vale em geral. Contraexemplo: com
a = {1,2,3}, b = {1,2}, c = {2}
tem a - (b - c) = {2,3} e (a - b) - c = {3}, logo são diferentes.

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