A questão dá duas transformações lineares em , definidas por
F\bigl(x,y,z\bigr)=(x+y,;z+y,;z)
G\bigl(x,y,z\bigr)=(x+2y,;y-z,;x+2z)
O que pedem é:
a composição ,
o núcleo de (ou seja, as soluções de ),
a imagem de .
Para resolver isso, vamos usar as definições de composição de transformações lineares, resolver sistemas lineares para achar o núcleo, e explicitar a imagem como espaço gerado por vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos achar . Para um vetor , aplicamos e em seguida :
,
sendo , , .
Agora
Substituindo :
que simplifica para
Passo 3
Agora, para achar , resolvemos
Isso gera o sistema:
Da terceira equação vem x=-2z. Substituindo na segunda:
-2z+y+z=0implies y=z
A primeira equação fica redundante (vira 0=0). Portanto os vetores do núcleo são
(x,y,z)=(-2z,;z,;z)=z(-2,1,1), zinR
Logo
ker(Fcirc G)=span(-2,1,1)
Passo 4
Agora achamos Gcirc F. Primeiro
F(x,y,z)=(x+y,;y+z,;z)=(u,v,w),
com u=x+y, v=y+z, w=z. Aplicando G:
G(u,v,w)=(u+2v,;v-w,;u+2w)
Substituindo:
Gl(F(x,y,z)r)=l((x+y)+2(y+z),;(y+z)-z,;(x+y)+2zr)
que dá
Gcirc F(x,y,z)=l(x+3y+2z,;y,;x+y+2zr)
Passo 5
Para encontrar Im(Gcirc F), note que
Gcirc F(x,y,z)=x,(1,0,1)+y,(3,1,1)+z,(2,0,2)
Observamos que (2,0,2)=2(1,0,1), então não é necessário. Assim a imagem é o subespaço gerado por