Sejam F(x, y, z)=(x+y, z+y, z) definidos por G(x, y, z)=(x+2 y, y-z, x+2 z) e F circ G, Ker(F circ G). Determine Im(G circ F) e .

Passo 1

A questão dá duas transformações lineares em R^3, definidas por
F\bigl(x,y,z\bigr)=(x+y,;z+y,;z)
G\bigl(x,y,z\bigr)=(x+2y,;y-z,;x+2z)
O que pedem é:
  1. a composição Fcirc G,
  2. o núcleo de Fcirc G (ou seja, as soluções de (Fcirc G)(x,y,z)=0),
  3. a imagem de Gcirc F.
Para resolver isso, vamos usar as definições de composição de transformações lineares, resolver sistemas lineares para achar o núcleo, e explicitar a imagem como espaço gerado por vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos achar Fcirc G. Para um vetor (x,y,z), aplicamos G e em seguida F:
G(x,y,z)=(x+2y,;y-z,;x+2z)=(a,b,c),
sendo a=x+2y, b=y-z, c=x+2z.
Agora
F(a,b,c)=(a+b,;c+b,;c)
Substituindo a,b,c:
Fl(G(x,y,z)r)=l((x+2y)+(y-z),;(x+2z)+(y-z),;x+2zr)
que simplifica para
Fcirc G(x,y,z)=l(x+3y-z,;x+y+z,;x+2zr)

Passo 3

Agora, para achar ker(Fcirc G), resolvemos
Fcirc G(x,y,z)=(0,0,0)
Isso gera o sistema:
x+3y-z=0, x+y+z=0, x+2z=0
Da terceira equação vem x=-2z. Substituindo na segunda:
-2z+y+z=0implies y=z
A primeira equação fica redundante (vira 0=0). Portanto os vetores do núcleo são
(x,y,z)=(-2z,;z,;z)=z(-2,1,1), zinR
Logo
ker(Fcirc G)=span(-2,1,1)

Passo 4

Agora achamos Gcirc F. Primeiro
F(x,y,z)=(x+y,;y+z,;z)=(u,v,w),
com u=x+y, v=y+z, w=z. Aplicando G:
G(u,v,w)=(u+2v,;v-w,;u+2w)
Substituindo:
Gl(F(x,y,z)r)=l((x+y)+2(y+z),;(y+z)-z,;(x+y)+2zr)
que dá
Gcirc F(x,y,z)=l(x+3y+2z,;y,;x+y+2zr)

Passo 5

Para encontrar Im(Gcirc F), note que
Gcirc F(x,y,z)=x,(1,0,1)+y,(3,1,1)+z,(2,0,2)
Observamos que (2,0,2)=2(1,0,1), então não é necessário. Assim a imagem é o subespaço gerado por
(1,0,1)e(3,1,1)
Logo
Im(Gcirc F)=span(1,0,1),;(3,1,1)

Resposta

F\circ G(x,y,z)=(x+3y-z,;x+y+z,;x+2z),
Ker(F\circ G)=span{(-2,1,1)},
Im(G\circ F)=span{(1,0,1),;(3,1,1)}.

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