Sejam a, b e c conjuntos. Demonstre dando uma prova matemática ou refute dando um contraexemplo:
a-b=a-(a cap b).

Passo 1

Enunciado: sejam os conjuntos A e B. Precisamos demonstrar a igualdade entre A - B e A - (A \cap B). O conteúdo envolve operações de diferença e interseção de conjuntos. Vamos usar a definição de diferença (A - B = A \cap B^c) e a lei de De Morgan ((X \cap Y)^c = X^c \cup Y^c).

Passo 2

Pela definição de diferença e complemento,
A - B = A cap B^c
e
A - (A cap B) = A cap (A cap B)^c

Passo 3

Aplicamos a lei de De Morgan ao complemento de A \cap B
(A cap B)^c = A^c cup B^c

Passo 4

Substituindo em A - (A \cap B),
A - (A cap B) = A cap (A^c cup B^c)

Passo 5

Usamos a distributividade e o fato de A \cap A^c = \emptyset
A cap (A^c cup B^c) = (A cap A^c) cup (A cap B^c) = emptyset cup (A cap B^c) = A cap B^c

Passo 6

Concluímos que A - (A \cap B) = A \cap B^c, que é a mesma expressão de A - B, provando a igualdade.

Resposta

A igualdade é verdadeira, pois ambas as expressões equivalem a A \cap B^c.

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