Sejam
e
conjuntos. Demonstre dando uma prova matemática ou refute dando um contraexemplo:
.
Passo 1
Enunciado: sejam os conjuntos A e B. Precisamos demonstrar a igualdade entre A - B e A - (A \cap B). O conteúdo envolve operações de diferença e interseção de conjuntos. Vamos usar a definição de diferença (A - B = A \cap B^c) e a lei de De Morgan ((X \cap Y)^c = X^c \cup Y^c).
Passo 2
Pela definição de diferença e complemento,
e
Passo 3
Aplicamos a lei de De Morgan ao complemento de A \cap B
Passo 4
Substituindo em A - (A \cap B),
Passo 5
Usamos a distributividade e o fato de A \cap A^c = \emptyset
Passo 6
Concluímos que A - (A \cap B) = A \cap B^c, que é a mesma expressão de A - B, provando a igualdade.
Resposta
A igualdade é verdadeira, pois ambas as expressões equivalem a A \cap B^c.