Seja f(x, y, z) de classe C^{2} e seja \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) um ponto interior de D_{f}. Suponhamos que \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) seja ponto crítico de f. Sejam H(x, y, z) e H_{1}(x, y, z) dadas por
H=\left|\begin{array}{lll} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial z} \\\ \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} & \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial z} \\\ \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial z} & \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial z} & \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}} \end{array}\right| \quad \text { e } \quad H_{1}=\left|\begin{array}{cc} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} \\\ \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} & \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \end{array}\right|
Pode ser provado (veja 16.6) que:

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a classificação do ponto crítico \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right):
  • f(x,y,z) é de classe C^{2} em um domínio que contém \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right).
  • \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right) é um ponto crítico de f (ou seja, todas as derivadas parciais de primeira ordem em \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right) são zero).
  • Foi definido o determinante da matriz Hessiana de f (o determinante de ordem 3)
H=\left|\begin{array}{lll} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial z} \\\ \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} & \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial z} \\\ \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial z} & \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial z} & \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}} \end{array}\right|
avaliado em \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right).
  • Foi definido o determinante principal de ordem 2 (os dois primeiros renglões/colunas)
H_{1}=\left|\begin{array}{cc} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} \\\ \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} & \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \end{array}\right|
avaliado em \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right).
O objetivo é usar essas quantidades (e conceitos de forma quadrática / Hessiana) para classificar o ponto crítico: mínimo local, máximo local, ponto de sela (saddle) ou caso inconclusivo.

Passo 2

Vamos aproximar f perto do ponto crítico usando a expansão de Taylor até a segunda ordem (isto é obrigatório porque o termo linear some no ponto crítico). Ensinei isso passo a passo:
  • Seja \mathbf{h}=(h_{1},h_{2},h_{3}) representando um pequeno deslocamento tal que (x,y,z)=(x_{0}+h_{1},y_{0}+h_{2},z_{0}+h_{3}).
  • Como \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right) é ponto crítico, os termos lineares da expansão se anulam. Assim, a expansão até segunda ordem é
f(x_{0}+\mathbf{h})-f(x_{0})=\frac{1}{2}\,\mathbf{h}^{T}A\mathbf{h}+o(\|\mathbf{h}\|^{2}),
onde A é a matriz Hessiana simétrica de f em \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right), isto é,
A=\begin{pmatrix} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial z} \\\ \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} & \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial z} \\\ \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial z} & \frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial z} & \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}} \end{pmatrix}.
  • A expressão
Q(\mathbf{h})=\frac{1}{2}\,\mathbf{h}^{T}A\mathbf{h}
é uma forma quadrática que domina o comportamento de f-f(x_{0}) para \mathbf{h} pequeno (o termo o(\|\mathbf{h}\|^{2}) é desprezível frente a \|\mathbf{h}\|^{2}).
Comentário didático: isso significa que para decidir se f cresce ou decresce em torno do ponto crítico, precisamos analisar o sinal da forma quadrática Q(\mathbf{h}). Se Q(\mathbf{h})>0 para todos \mathbf{h}\neq\mathbf{0} então f aumenta em todas as direções (mínimo). Se Q(\mathbf{h})<0 para todo \mathbf{h}\neq\mathbf{0} então f diminui em todas as direções (máximo). Se Q toma sinais positivos e negativos, então há direções de aumento e de diminuição: ponto de sela.

Passo 3

Precisamos saber quando a forma quadrática Q é positiva/negativa/indefinida. Para isso introduzo no detalhe dois conceitos:
  • Definição: a matriz A é positiva definida se para todo \mathbf{h}\neq\mathbf{0} vale \mathbf{h}^{T}A\mathbf{h}>0. Nesse caso Q(\mathbf{h})>0 e o ponto é mínimo local.
  • A matriz A é negativa definida se para todo \mathbf{h}\neq\mathbf{0} vale \mathbf{h}^{T}A\mathbf{h}<0. Nesse caso Q(\mathbf{h})<0 e o ponto é máximo local.
  • Se A é indefinida (ou seja, existem \mathbf{h} com \mathbf{h}^{T}A\mathbf{h}>0 e outros com \mathbf{h}^{T}A\mathbf{h}<0), então o ponto é de sela.
Teorema-prático (Sylvester): para uma matriz simétrica real A de ordem 3 os critérios usando os menores principais são:
  • A é positiva definida se, e somente se, os menores principais leading (os principais iniciando no canto superior esquerdo) satisfazem
D_{1}>0,\quad D_{2}>0,\quad D_{3}>0,
onde D_{1} é o elemento (1,1) de A, D_{2} é o determinante do bloco 2\times2 superior esquerdo, e D_{3}=\det A.
  • A é negativa definida se, e somente se,
D_{1}<0,\quad D_{2}>0,\quad D_{3}<0.
Explicação do que são esses D_{i} no nosso caso: avaliados em \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right),
D_{1}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}},\qquad D_{2}=H_{1},\qquad D_{3}=H.
Ou seja, os D_{i} dados no enunciado são exatamente os menores principais que aparecem no critério de Sylvester.
Didática prática: Sylvester é uma ferramenta que permite verificar positividade/negatividade de Q apenas olhando determinantes simples, sem calcular autovalores. É muito útil em provas.

Passo 4

Aplicando o resultado de Sylvester ao nosso problema obtemos as condições práticas de classificação do ponto crítico:
  • Se
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x_{0},y_{0},z_{0})>0,\qquad H_{1}(x_{0},y_{0},z_{0})>0,\qquad H(x_{0},y_{0},z_{0})>0,
então a matriz Hessiana é positiva definida, a forma quadrática Q é positiva para todo \mathbf{h}\neq\mathbf{0} e, portanto, f tem um mínimo local em \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right).
  • Se
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x_{0},y_{0},z_{0})<0,\qquad H_{1}(x_{0},y_{0},z_{0})>0,\qquad H(x_{0},y_{0},z_{0})<0,
então a matriz Hessiana é negativa definida, a forma quadrática Q é negativa para todo \mathbf{h}\neq\mathbf{0} e, portanto, f tem um máximo local em \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right).
  • Se as duas condições anteriores não se verificam, pode ocorrer uma destas situações:
    • Se a Hessiana for indefinida (isto é, se Q assume valores positivos e negativos), então f tem um ponto de sela em \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right). Na prática, muitos padrões de sinais levam à indefinição; por exemplo, um caso comum de sela é quando D_{2}=H_{1}>0 e D_{3}=H<0 (exceto quando os sinais coincidem com o caso de máximo já citado).
    • Se H=0 (isto é, D_{3}=0) o teste fica inconclusivo: pode ser mínimo, máximo, sela, ou outro comportamento mais delicado — então é preciso usar termos de ordem superior na expansão de Taylor ou outro método para decidir.
Comentário prático e de prova: a razão porque verificamos os signos desses determinantes é que Sylvester garante equivalência entre os sinais dos menores e a (positiva/negativa) definitude da matriz. A justificativa completa envolve diagonalizar a matriz simétrica por uma mudança ortogonal e relacionar os menores à multiplicação dos autovalores; não vou repetir toda a álgebra aqui, mas o passo chave é: forma quadrática positiva definida ⇔ todos autovalores >0 ⇔ todos menores principais >0.

Passo 5

Dou exemplos rápidos, bem simples, para fixar a intuição:
  • Exemplo mínimo: f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}. Aqui \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=2>0, H_{1}=\det\begin{pmatrix}2&0\\\ 0&2\end{pmatrix}=4>0, H=\det(2I)=8>0. Satisfaz o caso mínimo.
  • Exemplo máximo: f(x,y,z)=-x^{2}-y^{2}-z^{2}. Aqui \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=-2<0, H_{1}=4>0, H=-8<0. Satisfaz o caso máximo.
  • Exemplo sela: f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2}. Aqui \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=2>0, H_{1}=4>0, H=-8<0. Não satisfaz nem o caso mínimo nem o caso máximo; a forma quadrática admite sinais positivos e negativos — ponto de sela.
Esses exemplos mostram como usar rapidamente os sinais de D_{1},D_{2},D_{3} na prova.

Passo 6

Resumo das ações práticas que você deve fazer na prova (passo a passo para aplicar sem erro):
  1. Verifique que \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right) é crítico: confirme que todas as derivadas primeiras são zero.
  2. Calcule as segundas derivadas necessárias e forme a matriz Hessiana A.
  3. Calcule D_{1}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x_{0},y_{0},z_{0}),\qquad D_{2}=H_{1}(x_{0},y_{0},z_{0}),\qquad D_{3}=H(x_{0},y_{0},z_{0}).
  4. Compare os sinais:
    • Se D_{1}>0,\;D_{2}>0,\;D_{3}>0 → mínimo local.
    • Se D_{1}<0,\;D_{2}>0,\;D_{3}<0 → máximo local.
    • Caso contrário, se a matriz se mostrar indefinida por sinais contraditórios → sela.
    • Se D_{3}=0 → teste inconclusivo; procure termos de ordem superior ou outra análise.
Dica amiga: na prova siga exatamente essa sequência; muitas vezes dá para decidir só com um ou dois determinantes antes de precisar do terceiro, o que economiza tempo.

Resposta

Se \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x_{0},y_{0},z_{0})>0,\;H_{1}(x_{0},y_{0},z_{0})>0,\;H(x_{0},y_{0},z_{0})>0 então mínimo local.
Se \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x_{0},y_{0},z_{0})<0,\;H_{1}(x_{0},y_{0},z_{0})>0,\;H(x_{0},y_{0},z_{0})<0 então máximo local.
Se os sinais não se encaixam nos casos acima e a forma quadrática resultante é de sinais mistos então ponto de sela.
Se H(x_{0},y_{0},z_{0})=0 o teste é inconclusivo (é preciso analisar termos de ordem superior).

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