Dois inteiros
dizem-se primos relativos
. Se
e
são primos relativos, mostre que a equação linear
tem sempre uma solução inteira
. Conclua que a equação tem uma infinidade de soluções.
Passo 1
O enunciado pede que, dados inteiros a e b tais que
, mostremos que a equação linear
sempre admite solução inteira e que, na verdade, há infinitas. O conteúdo principal aqui é a identidade de Bézout e a resolução de equações diofantinas lineares.
Passo 2
Como
, a identidade de Bézout garante que existem inteiros
e
tais que
Este é o passo chave: provar a existência de uma combinação inteira de a e b que vale 1.
Passo 3
Multiplicando a identidade de Bézout por
, obtemos
Logo, um par concreto de solução inteira para
é
Passo 4
Para ver que há infinitas soluções, consideramos a equação homogênea associada
Da teoria de equações lineares homogêneas, suas soluções são
com
inteiro. Assim, as soluções gerais de
são
para todo
.
Resposta
Uma solução particular é
obtida da identidade de Bézout. As soluções gerais são
o que mostra que há infinitas soluções inteiras.