Dois inteiros a, b dizem-se primos relativos se mdc(a, b)=1. Se a e b são primos relativos, mostre que a equação linear a x+b y=c tem sempre uma solução inteira x, y. Conclua que a equação tem uma infinidade de soluções.

Passo 1

O enunciado pede que, dados inteiros a e b tais que gcd(a,b)=1, mostremos que a equação linear a x + b y = c sempre admite solução inteira e que, na verdade, há infinitas. O conteúdo principal aqui é a identidade de Bézout e a resolução de equações diofantinas lineares.

Passo 2

Como gcd(a,b)=1, a identidade de Bézout garante que existem inteiros x0 e y0 tais que
a x0 + b y0 = 1
Este é o passo chave: provar a existência de uma combinação inteira de a e b que vale 1.

Passo 3

Multiplicando a identidade de Bézout por c, obtemos
a (c x0) + b (c y0) = c
Logo, um par concreto de solução inteira para a x + b y = c é
(x',y') = (c x0,;c y0)

Passo 4

Para ver que há infinitas soluções, consideramos a equação homogênea associada
a (x - x') + b (y - y') = 0
Da teoria de equações lineares homogêneas, suas soluções são
x - x' = b,t,
y - y' = -a,t,
com t inteiro. Assim, as soluções gerais de a x + b y = c são
x = c x0 + b,t,
y = c y0 - a,t,
para todo t in Z.

Resposta

Uma solução particular é (x',y')=(c x0,c y0) obtida da identidade de Bézout. As soluções gerais são
x = c x0 + b,t, y = c y0 - a,t, t in Z,
o que mostra que há infinitas soluções inteiras.

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