Determine o máximo e o mínimo absoluto de f restrito ao domínio D indicado em cada caso:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o máximo e o mínimo absoluto da função $ f(x, y) = 2{x{3} + y^{4}} $ dentro do domínio $ D = \left{(x, y) \mid x^{2} + y^{2} \leq 1\right} $. Isso envolve conceitos de otimização em funções de várias variáveis, onde vamos buscar os pontos onde a função atinge seus valores mais altos e mais baixos dentro da região definida pelo círculo de raio 1.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o domínio $ D $. A condição $ x^{2} + y^{2} \leq 1 $ representa um círculo com raio 1 centrado na origem (0,0). Então, estamos procurando os valores máximos e mínimos da função dentro e na borda desse círculo.

Passo 3

Para encontrar os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos, vamos procurar pontos críticos no interior do domínio. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de $ f(x, y) $:
f(x, y)
partial fpartial x = ddx(2^x^3 + y^4) = 2^x^3 + y^4 cdot ln(2) cdot 3x^2

Passo 5

Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas a zero:
2^x^3 + y^4 cdot ln(2) cdot 3x^2 = 0
2^x^3 + y^4 cdot ln(2) cdot 4y^3 = 0
Como $ 2{x{3} + y^{4}} $ e $ \ln(2) $ nunca são zero, concluímos que:
2^x^3 + y^4
ln(2)
Então, o único ponto crítico no interior é $ (0, 0) $.

Passo 6

Agora, vamos avaliar a função nesse ponto crítico:
f(0, 0) = 2^0^3 + 0^4 = 2^0 = 1
Este é um candidato a mínimo ou máximo no interior.

Passo 7

Em seguida, precisamos verificar os valores da função na borda do domínio $ D $, onde $ x^{2} + y^{2} = 1 $. Para isso, podemos parametrizar a borda usando coordenadas polares:
D
Substituindo na função:
x^2 + y^2 = 1

Passo 8

Para encontrar os máximos e mínimos na borda, precisamos analisar os valores de $ f(\theta) $ para $ \theta $ variando de 0 a $ 2\pi $. Observando os expoentes:
  • $ (\cos(\theta))^{3} $ varia entre -1 e 1.
  • $ (\sin(\theta))^{4} $ varia entre 0 e 1 (já que a potência par elimina sinais negativos).
Então, o expoente $ x^{3} + y^{4} $ varia entre aproximadamente -1 e 2.

Passo 9

Buscando os extremos:
  • Máximo ocorre quando $ x^{3} + y^{4} $ é máximo. Isso acontece quando $ \cos(\theta) = 1 $ e $ \sin(\theta) = 1 $, mas como $ x^{2} + y^{2} = 1 $, o máximo real ocorre em $ \cos(\theta) = 1 $, $ \sin(\theta) = 0 $, então $ (1, 0) $.
x^3 + y^4
  • Mínimo ocorre quando $ x^{3} + y^{4} $ é mínimo. Isso acontece quando $ \cos(\theta) = -1 $ e $ \sin(\theta) = 0 $, então $ (-1, 0) $.
cos(theta) = 1

Resposta

O máximo absoluto de $ f $ no domínio $ D $ é 2 no ponto $ (1, 0) $ e o mínimo absoluto é $ \frac{1}{2} $ no ponto $ (-1, 0) $.

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