Determine o máximo e o mĂnimo absoluto de
restrito ao domĂnio
indicado em cada caso:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o máximo e o mínimo absoluto da função $ f(x, y) = 2{x{3} + y^{4}} $ dentro do domínio $ D = \left{(x, y) \mid x^{2} + y^{2} \leq 1\right} $. Isso envolve conceitos de otimização em funções de várias variáveis, onde vamos buscar os pontos onde a função atinge seus valores mais altos e mais baixos dentro da região definida pelo círculo de raio 1.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o domínio $ D $. A condição $ x^{2} + y^{2} \leq 1 $ representa um círculo com raio 1 centrado na origem (0,0). Então, estamos procurando os valores máximos e mínimos da função dentro e na borda desse círculo.
Passo 3
Para encontrar os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos, vamos procurar pontos críticos no interior do domínio. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de $ f(x, y) $:
Passo 5
Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas a zero:
Como $ 2{x{3} + y^{4}} $ e $ \ln(2) $ nunca são zero, concluímos que:
Então, o único ponto crítico no interior é $ (0, 0) $.
Passo 6
Agora, vamos avaliar a função nesse ponto crítico:
Este é um candidato a mínimo ou máximo no interior.
Passo 7
Em seguida, precisamos verificar os valores da função na borda do domínio $ D $, onde $ x^{2} + y^{2} = 1 $. Para isso, podemos parametrizar a borda usando coordenadas polares:
Substituindo na função:
Passo 8
Para encontrar os máximos e mínimos na borda, precisamos analisar os valores de $ f(\theta) $ para $ \theta $ variando de 0 a $ 2\pi $. Observando os expoentes:
- $ (\cos(\theta))^{3} $ varia entre -1 e 1.
- $ (\sin(\theta))^{4} $ varia entre 0 e 1 (já que a potência par elimina sinais negativos).
Então, o expoente $ x^{3} + y^{4} $ varia entre aproximadamente -1 e 2.
Passo 9
Buscando os extremos:
- Máximo ocorre quando $ x^{3} + y^{4} $ é máximo. Isso acontece quando $ \cos(\theta) = 1 $ e $ \sin(\theta) = 1 $, mas como $ x^{2} + y^{2} = 1 $, o máximo real ocorre em $ \cos(\theta) = 1 $, $ \sin(\theta) = 0 $, então $ (1, 0) $.
- Mínimo ocorre quando $ x^{3} + y^{4} $ é mínimo. Isso acontece quando $ \cos(\theta) = -1 $ e $ \sin(\theta) = 0 $, então $ (-1, 0) $.
Resposta
O máximo absoluto de $ f $ no domínio $ D $ é 2 no ponto $ (1, 0) $ e o mínimo absoluto é $ \frac{1}{2} $ no ponto $ (-1, 0) $.