Determine o ponto do cone z^2=x^2+y^2 que está mais próximo do ponto (4,2,0).

Passo 1

O enunciado pede para achar o ponto do cone z^2 = x^2 + y^2 que fica mais perto do ponto (4,2,0). O conteúdo aqui é otimização com restrição, e vamos precisar usar multiplicadores de Lagrange para minimizar a distância.

Passo 2

Vamos definir a função a ser minimizada como o quadrado da distância entre um ponto genérico (x,y,z) e (4,2,0):
f(x,y,z) = (x-4)^2 + (y-2)^2 + z^2
A restrição do cone é
g(x,y,z) = x^2 + y^2 - z^2 = 0

Passo 3

Aplicamos o método de Lagrange criando o lagrangiano L = f - lambda g e impondo nabla L = 0:
partial Lpartial x:;2(x-4) - lambda,2x = 0,
partial Lpartial y:;2(y-2) - lambda,2y = 0,
partial Lpartial z:;2z + lambda,2z = 0,
junto com a restrição x^2 + y^2 - z^2 = 0.

Passo 4

Da equação 2z + 2lambda z = 0 temos duas possibilidades: ou z = 0 ou lambda = -1.

Passo 5

No caso z = 0, a restrição vira x^2 + y^2 = 0 logo x = 0 e y = 0. Isso dá o ponto (0,0,0), cuja distância ao ponto dado é raiz20.

Passo 6

No caso lambda = -1, das duas primeiras equações:
x - 4 = -x implies x = 2,
y - 2 = -y implies y = 1
Usando a restrição z^2 = x^2 + y^2 = 5, temos z = pmraiz5. Esses pontos são (2,1,raiz5) e (2,1,-raiz5), com distância raiz10.

Passo 7

Comparando as distâncias, raiz10 < raiz20, logo os pontos mais próximos são (2,1,raiz5) e (2,1,-raiz5).

Resposta

Os pontos do cone mais próximos de (4,2,0) são (2,1,√5) e (2,1,−√5).

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