Determine o ponto do cone
que está mais próximo do ponto
.
Passo 1
O enunciado pede para achar o ponto do cone
que fica mais perto do ponto
. O conteúdo aqui é otimização com restrição, e vamos precisar usar multiplicadores de Lagrange para minimizar a distância.
Passo 2
Vamos definir a função a ser minimizada como o quadrado da distância entre um ponto genérico
e
:
A restrição do cone é
Passo 3
Aplicamos o método de Lagrange criando o lagrangiano
e impondo
:
junto com a restrição
.
Passo 4
Da equação
temos duas possibilidades: ou
ou
.
Passo 5
No caso
, a restrição vira
logo
e
. Isso dá o ponto
, cuja distância ao ponto dado é
.
Passo 6
No caso
, das duas primeiras equações:
Usando a restrição
, temos
. Esses pontos são
e
, com distância
.
Passo 7
Comparando as distâncias,
, logo os pontos mais próximos são
e
.
Resposta
Os pontos do cone mais próximos de (4,2,0) são (2,1,√5) e (2,1,−√5).