Determine a menor distância entre o ponto
e o plano
, sem usar conhecimentos geométricos, apenas técnicas de cálculo.
Passo 1
O exercício pede a menor distância do ponto
ao plano
usando apenas cálculo. Vamos tratar isso como um problema de otimização com restrição, aplicando multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Para simplificar, minimizamos o quadrado da distância e impomos a condição do plano. Em bloco definimos:
Passo 3
Usando Lagrange, construímos
, o que gera as equações:
Passo 4
Dessas equações isolamos as variáveis:
,
e
.
Passo 5
Substituímos esses valores em
para encontrar
e, em seguida, calculamos o ponto mais próximo sobre o plano. Vem
e o ponto é
.
Passo 6
Por fim, avaliamos
nesse ponto, obtendo
. A menor distância é a raiz desse valor.