Determine a menor distância entre o ponto (1,0,1) e o plano 4 x+2 y+z=0, sem usar conhecimentos geométricos, apenas técnicas de cálculo.

Passo 1

O exercício pede a menor distância do ponto (1,0,1) ao plano 4x+2y+z=0 usando apenas cálculo. Vamos tratar isso como um problema de otimização com restrição, aplicando multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Para simplificar, minimizamos o quadrado da distância e impomos a condição do plano. Em bloco definimos:
f(x,y,z) = (x-1)^2 + y^2 + (z-1)^2, g(x,y,z) = 4x + 2y + z = 0

Passo 3

Usando Lagrange, construímos nabla f = lambdanabla g, o que gera as equações:
2(x-1) = 4lambda, 2y = 2lambda, 2(z-1) = lambda

Passo 4

Dessas equações isolamos as variáveis: x = 2lambda + 1, y = lambda e z = 1 + tfraclambda2.

Passo 5

Substituímos esses valores em g(x,y,z)=0 para encontrar lambda e, em seguida, calculamos o ponto mais próximo sobre o plano. Vem lambda = -tfrac1021 e o ponto é (tfrac121, -tfrac1021, tfrac1621).

Passo 6

Por fim, avaliamos f nesse ponto, obtendo fmin = tfrac2521. A menor distância é a raiz desse valor.

Resposta

5raiz21

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