Determine o máximo e o mínimo (absolutos) de z=f(x ; y) no conjunto D indicado:
(g) z=x e^{-x}-\cos y, D=[-1,1] \times[-\pi, \pi].

Passo 1

O enunciado pede para determinar o máximo absoluto e o mínimo absoluto da função
f(x,y)=x e^{-x}-\cos y
no conjunto
D=[-1,1]\times[-\pi,\pi].
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é dada explicitamente por f(x,y)=x e^{-x}-\cos y.
  • O domínio D é o retângulo fechado e limitado [-1,1]\times[-\pi,\pi].
  • Quer-se o(s) ponto(s) onde f atinge seus extremos absolutos e os respectivos valores.

Passo 2

Observação útil e estratégia: a função é separável nas variáveis x e y. Definindo
g(x)=x e^{-x},\qquad h(y)=-\cos y,
temos
f(x,y)=g(x)+h(y).
Para funções separáveis em um produto de domínios (aqui [-1,1] e [-\pi,\pi]), o máximo absoluto de f no produto é a soma do máximo absoluto de g no intervalo de x com o máximo absoluto de h no intervalo de y, porque para todo (x,y)
g(x)\le\max_{[-1,1]}g,\qquad h(y)\le\max_{[-\pi,\pi]}h,
logo f(x,y)\le \max_{[-1,1]}g + \max_{[-\pi,\pi]}h, e a igualdade ocorre se houver x e y que alcançam esses máximos simultaneamente (o que existe porque os intervalos são compactos e as funções contínuas). O mesmo raciocínio vale para os mínimos. Assim basta achar máximos e mínimos de g em [-1,1] e de h em [-\pi,\pi].

Passo 3

Analisando g(x)=x e^{-x} em [-1,1].
Primeiro derivada de g. Usando a regra do produto e a derivada de e^{-x}:
g'(x)=\frac{d}{dx}\big(x e^{-x}\big)=e^{-x}+x\cdot(-e^{-x})=e^{-x}(1-x).
Como e^{-x}>0 para todo x, a solução de g'(x)=0 é 1-x=0, isto é x=1. Note que x=1 é um ponto do intervalo, mas é também o extremo direito do intervalo. O sinal de g' é:
  • Para x<1, 1-x>0 então g'(x)>0 (função crescente em todo [-1,1)).
  • Em x=1, g'(1)=0.
    Portanto g é crescente em [-1,1] e atinge o menor valor no extremo esquerdo x=-1 e o maior valor no extremo direito x=1.
Avaliações:
g(-1)=(-1)e^{-(-1)}=-1\cdot e^{1}=-e,
g(1)=1\cdot e^{-1}=e^{-1}.

Passo 4

Analisando h(y)=-\cos y em [-\pi,\pi].
Derivada:
h'(y)=-(-\sin y)=\sin y.
Zerar a derivada dá \sin y=0, isto é y=0,\pm\pi (dentro de [-\pi,\pi] temos y=-\pi,0,\pi). Avaliando h nesses pontos e lembrando que \cos 0=1 e \cos(\pm\pi)=-1:
h(0)=-\cos 0=-1,
h(\pm\pi)=-\cos(\pm\pi)=-(-1)=1.
Portanto, em [-\pi,\pi], h atinge o mínimo h_{\min}=-1 em y=0 e o máximo h_{\max}=1 em y=\pm\pi.

Passo 5

Combinação dos resultados (justificando a soma dos extremos):
Como f(x,y)=g(x)+h(y), os extremos absolutos em D são obtidos combinando os extremos de g e h:
  • Máximo absoluto de f: soma do máximo de g com o máximo de h:
f_{\max} = g(1)+h(\pm\pi)=e^{-1}+1.
Esse valor é atingido nos pontos (x,y)=(1,\pi) e (1,-\pi) (ambos pertencem a D).
  • Mínimo absoluto de f: soma do mínimo de g com o mínimo de h:
f_{\min} = g(-1)+h(0)=-e-1.
Esse valor é atingido no ponto (x,y)=(-1,0).
Verificação rápida de coerência: não há pontos críticos internos simultâneos (isto é, com x estritamente em (-1,1) e y em (-\pi,\pi)) porque g'(x)=0 só em x=1 (extremo do intervalo) e h'(y)=0 em y=0,\pm\pi; portanto os extremos aparecem nas combinações descritas nos limites do domínio, conforme já encontrado.

Resposta

Máximo absoluto: f_{\max}=e^{-1}+1, atingido em (x,y)=(1,\pi) e (1,-\pi).
Mínimo absoluto: f_{\min}=-e-1, atingido em (x,y)=(-1,0).

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