Determine o máximo e o mínimo (absolutos) de
no conjunto
indicado:
(g)
.
(g)
Passo 1
O enunciado pede para determinar o máximo absoluto e o mínimo absoluto da função
no conjunto
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é dada explicitamente por
. - O domínio
é o retângulo fechado e limitado . - Quer-se o(s) ponto(s) onde
atinge seus extremos absolutos e os respectivos valores.
Passo 2
Observação útil e estratégia: a função é separável nas variáveis
e
. Definindo
temos
Para funções separáveis em um produto de domínios (aqui
e
), o máximo absoluto de
no produto é a soma do máximo absoluto de
no intervalo de
com o máximo absoluto de
no intervalo de
, porque para todo
logo
, e a igualdade ocorre se houver
e
que alcançam esses máximos simultaneamente (o que existe porque os intervalos são compactos e as funções contínuas). O mesmo raciocínio vale para os mínimos. Assim basta achar máximos e mínimos de
em
e de
em
.
Passo 3
Analisando
em
.
Primeiro derivada de
. Usando a regra do produto e a derivada de
:
Como
para todo
, a solução de
é
, isto é
. Note que
é um ponto do intervalo, mas é também o extremo direito do intervalo. O sinal de
é:
- Para
, então (função crescente em todo ). - Em
, .
Portantoé crescente em e atinge o menor valor no extremo esquerdo e o maior valor no extremo direito .
Avaliações:
Passo 4
Analisando
em
.
Derivada:
Zerar a derivada dá
, isto é
(dentro de
temos
). Avaliando
nesses pontos e lembrando que
e
:
Portanto, em
,
atinge o mínimo
em
e o máximo
em
.
Passo 5
Combinação dos resultados (justificando a soma dos extremos):
Como
, os extremos absolutos em
são obtidos combinando os extremos de
e
:
- Máximo absoluto de
: soma do máximo de com o máximo de :
Esse valor é atingido nos pontos
e
(ambos pertencem a
).
- Mínimo absoluto de
: soma do mínimo de com o mínimo de :
Esse valor é atingido no ponto
.
Verificação rápida de coerência: não há pontos críticos internos simultâneos (isto é, com
estritamente em
e
em
) porque
só em
(extremo do intervalo) e
em
; portanto os extremos aparecem nas combinações descritas nos limites do domínio, conforme já encontrado.
Resposta
Máximo absoluto:
, atingido em
e
.
Mínimo absoluto: , atingido em
.
Mínimo absoluto: