Determine o máximo e o mínimo (absolutos) de
no conjunto
indicado:
(h)
é triângulo de vértices
e
.
(h)
Passo 1
O enunciado dá a função
e o domínio
que é o triângulo com vértices
. O que se pede é determinar o máximo absoluto e o mínimo absoluto de
em
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função
é polinomial (logo contínua). - O conjunto
é compacto (fechado e limitado), portanto atinge máximo e mínimo absolutos em . - Pontos a checar: pontos críticos onde
no interior de e também os extremos sobre as arestas do triângulo (inclusive vértices).
Passo 2
Plano de ataque (explicando o método): para achar extremos absolutos de uma função contínua num domínio compacto eu faço:
- Calculo os pontos críticos resolvendo
e verifico quais estão em . - Analiso cada aresta do triângulo: restrinjo
à aresta (fica uma função de uma variável) e procuro extremos desse problema unidimensional no intervalo correspondente (derivada zero e também endpoints). - Avalio
em todos os candidatos e comparo os valores — o maior é o máximo absoluto e o menor é o mínimo absoluto.
Vou seguir exatamente esses passos, explicando cada fórmula e conta.
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais e pontos críticos.
Derivadas parciais:
Para pontos críticos, resolvemos
, isto é
Dividindo por
e resolvendo:
Logo os pontos críticos (no plano) são as quatro combinações
Passo 4
Verificação quais desses pontos pertencem ao triângulo
.
O triângulo
tem
,
e
.
-
satisfaz e , logo . Observação: está sobre a hipotenusa , portanto é ponto de bordo (aresta), não interior. - Os outros três pontos têm coordenadas negativas e, portanto, não pertencem a
.
Conclusão: não há pontos críticos no interior de
; o único ponto crítico em
é
(na aresta).
Passo 5
Avaliar
nos vértices (sempre candidatos):
Passo 6
Analisar a aresta
com
.
Restrinjo
a
:
Derivada:
Zerando:
No intervalo
vale
. Avaliando:
Também já temos os endpoints:
e
(calculados no passo anterior).
Passo 7
Analisar a aresta
com
.
Restrinjo
a
:
Derivada:
Zerando:
e no intervalo
temos
. Avaliando:
Endpoints já conhecidos:
,
.
Passo 8
Analisar a aresta hipotenusa
. Parametrizo por
e
.
Restrinjo
:
Expandindo cuidadosamente:
logo
Agrupando termos:
Derivada:
Zerando dá
, que está em
. Avaliando:
Além disso, avaliar nos endpoints
e
:
O ponto
corresponde ao ponto
já identificado.
Passo 9
Juntar todos os candidatos e comparar valores.
Candidatos e seus valores já calculados:
- Vértices:
, , . - Pontos nas arestas:
, , .
Não há outros pontos críticos em.
Comparando os valores:
- Maior valor entre os candidatos é
, atingido em e em . - Menor valor é
, atingido em .
Passo 10
Interpretação final e confirmação: portanto o mínimo absoluto é
em
e o máximo absoluto é
atingido nos vértices
e
. Boa notícia: problema resolvido seguindo a receita padrão (pontos críticos + análise das arestas).
Resposta
Máximo absoluto:
em
e
.
Mínimo absoluto: em
.
Mínimo absoluto: