Determine o máximo e o mínimo (absolutos) de z=f(x ; y) no conjunto D indicado:
(h) z=x^{3}+y^{3}-3 x-3 y, D é triângulo de vértices (0,0),(2,0) e (0,2).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{3}+y^{3}-3x-3y
e o domínio D que é o triângulo com vértices (0,0),(2,0),(0,2). O que se pede é determinar o máximo absoluto e o mínimo absoluto de f em D.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função f é polinomial (logo contínua).
  • O conjunto D é compacto (fechado e limitado), portanto f atinge máximo e mínimo absolutos em D.
  • Pontos a checar: pontos críticos onde \nabla f=0 no interior de D e também os extremos sobre as arestas do triângulo (inclusive vértices).

Passo 2

Plano de ataque (explicando o método): para achar extremos absolutos de uma função contínua num domínio compacto eu faço:
  1. Calculo os pontos críticos resolvendo \nabla f=0 e verifico quais estão em D.
  2. Analiso cada aresta do triângulo: restrinjo f à aresta (fica uma função de uma variável) e procuro extremos desse problema unidimensional no intervalo correspondente (derivada zero e também endpoints).
  3. Avalio f em todos os candidatos e comparo os valores — o maior é o máximo absoluto e o menor é o mínimo absoluto.
Vou seguir exatamente esses passos, explicando cada fórmula e conta.

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais e pontos críticos.
Derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}-3=3(x^{2}-1), \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=3y^{2}-3=3(y^{2}-1).
Para pontos críticos, resolvemos \nabla f=0, isto é
3(x^{2}-1)=0,\qquad 3(y^{2}-1)=0.
Dividindo por 3 e resolvendo:
x^{2}-1=0\Rightarrow x=\pm 1,\qquad y^{2}-1=0\Rightarrow y=\pm 1.
Logo os pontos críticos (no plano) são as quatro combinações
(1,1),\\ (1,-1),\\ (-1,1),\\ (-1,-1).

Passo 4

Verificação quais desses pontos pertencem ao triângulo D.
O triângulo D tem x\ge 0, y\ge 0 e x+y\le 2.
  • (1,1) satisfaz x\ge0,y\ge0 e 1+1=2\le2, logo (1,1)\in D. Observação: (1,1) está sobre a hipotenusa x+y=2, portanto é ponto de bordo (aresta), não interior.
  • Os outros três pontos têm coordenadas negativas e, portanto, não pertencem a D.
Conclusão: não há pontos críticos no interior de D; o único ponto crítico em D é (1,1) (na aresta).

Passo 5

Avaliar f nos vértices (sempre candidatos):
f(0,0)=0^{3}+0^{3}-0-0=0,
f(2,0)=2^{3}+0-3\cdot 2-0=8-6=2,
f(0,2)=0+8-0-6=2.

Passo 6

Analisar a aresta y=0 com 0\le x\le 2.
Restrinjo f a y=0:
\phi_{1}(x)=f(x,0)=x^{3}-3x.
Derivada:
\phi_{1}'(x)=3x^{2}-3=3(x^{2}-1).
Zerando:
x^{2}-1=0\Rightarrow x=\pm 1.
No intervalo [0,2] vale x=1. Avaliando:
f(1,0)=1^{3}-3\cdot 1=1-3=-2.
Também já temos os endpoints: f(0,0)=0 e f(2,0)=2 (calculados no passo anterior).

Passo 7

Analisar a aresta x=0 com 0\le y\le 2.
Restrinjo f a x=0:
\phi_{2}(y)=f(0,y)=y^{3}-3y.
Derivada:
\phi_{2}'(y)=3y^{2}-3=3(y^{2}-1).
Zerando:
y=\pm 1,
e no intervalo [0,2] temos y=1. Avaliando:
f(0,1)=1^{3}-3\cdot 1=-2.
Endpoints já conhecidos: f(0,0)=0, f(0,2)=2.

Passo 8

Analisar a aresta hipotenusa x+y=2. Parametrizo por x\in[0,2] e y=2-x.
Restrinjo f:
\psi(x)=f(x,2-x)=x^{3}+(2-x)^{3}-3x-3(2-x).
Expandindo cuidadosamente:
(2-x)^{3}=8-12x+6x^{2}-x^{3},
logo
\psi(x)=x^{3}+\bigl(8-12x+6x^{2}-x^{3}\bigr)-3x-6+3x.
Agrupando termos:
\psi(x)=6x^{2}-12x+2.
Derivada:
\psi'(x)=12x-12=12(x-1).
Zerando dá x=1, que está em [0,2]. Avaliando:
\psi(1)=6\cdot 1^{2}-12\cdot 1+2=6-12+2=-4.
Além disso, avaliar nos endpoints x=0 e x=2:
\psi(0)=2,\qquad \psi(2)=2.
O ponto x=1 corresponde ao ponto (1,1) já identificado.

Passo 9

Juntar todos os candidatos e comparar valores.
Candidatos e seus valores já calculados:
  • Vértices: f(0,0)=0, f(2,0)=2, f(0,2)=2.
  • Pontos nas arestas: f(1,0)=-2, f(0,1)=-2, f(1,1)=-4.
    Não há outros pontos críticos em D.
Comparando os valores:
  • Maior valor entre os candidatos é 2, atingido em (2,0) e em (0,2).
  • Menor valor é -4, atingido em (1,1).

Passo 10

Interpretação final e confirmação: portanto o mínimo absoluto é -4 em (1,1) e o máximo absoluto é 2 atingido nos vértices (2,0) e (0,2). Boa notícia: problema resolvido seguindo a receita padrão (pontos críticos + análise das arestas).

Resposta

Máximo absoluto: 2 em (2,0) e (0,2).
Mínimo absoluto: -4 em (1,1).

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