Sendo f(x, y, z)=2 x-y+z, determine o máximo e o mínimo de f sujeita a x^2+3 y^2=84 e z=x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o valor máximo e mínimo da função $ f(x, y, z) = 2x - y + z $ com algumas condições: $ x^{2} + 3y^{2} = 84 $ e $ z = x $. Isso envolve otimização com restrições, onde a gente busca os extremos de uma função dentro de certas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função $ f(x, y, z) $ usando a condição $ z = x $. Substituindo $ z $ por $ x $, a função fica:
f(x, y, z)
Agora, queremos maximizar e minimizar $ f(x, y) = 3x - y $ com a restrição $ x^{2} + 3y^{2} = 84 $.

Passo 3

Essa restrição $ x^{2} + 3y^{2} = 84 $ define uma elipse no plano $ xy $. Para facilitar, vamos parametrizar essa elipse usando funções trigonométricas. Podemos escrever:
x^2 + 3y^2 = 84
Assim, qualquer ponto na elipse pode ser representado por um ângulo $ \theta $.

Passo 4

Agora, vamos expressar $ f(x, y) $ em termos de $ \theta $:
f(x, y)
Simplificando, a gente tem uma combinação linear de funções seno e cosseno.

Passo 5

Para encontrar os valores máximos e mínimos dessa expressão, usamos a identidade trigonométrica que diz que:
A cos(theta) + B sin(theta) = raizA^2 + B^2 cos(theta - phi)
Onde $ \phi $ é um ângulo que ajusta a fase. O ponto chave aqui é que o valor máximo de $ \cos $ é 1 e o mínimo é -1, então:
phi áí

Passo 6

Identificando $ A $ e $ B $ na nossa expressão:
A
Calculando $ \sqrt{A^{2} + B^{2}} $:
B

Resposta

O valor máximo de $ f $ é $ 28 $ e o valor mínimo é $ -28 $.

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