Sendo
, determine o máximo e o mínimo de
sujeita a
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o valor máximo e mínimo da função $ f(x, y, z) = 2x - y + z $ com algumas condições: $ x^{2} + 3y^{2} = 84 $ e $ z = x $. Isso envolve otimização com restrições, onde a gente busca os extremos de uma função dentro de certas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função $ f(x, y, z) $ usando a condição $ z = x $. Substituindo $ z $ por $ x $, a função fica:
Agora, queremos maximizar e minimizar $ f(x, y) = 3x - y $ com a restrição $ x^{2} + 3y^{2} = 84 $.
Passo 3
Essa restrição $ x^{2} + 3y^{2} = 84 $ define uma elipse no plano $ xy $. Para facilitar, vamos parametrizar essa elipse usando funções trigonométricas. Podemos escrever:
Assim, qualquer ponto na elipse pode ser representado por um ângulo $ \theta $.
Passo 4
Agora, vamos expressar $ f(x, y) $ em termos de $ \theta $:
Simplificando, a gente tem uma combinação linear de funções seno e cosseno.
Passo 5
Para encontrar os valores máximos e mínimos dessa expressão, usamos a identidade trigonométrica que diz que:
Onde $ \phi $ é um ângulo que ajusta a fase. O ponto chave aqui é que o valor máximo de $ \cos $ é 1 e o mínimo é -1, então:
Passo 6
Identificando $ A $ e $ B $ na nossa expressão:
Calculando $ \sqrt{A^{2} + B^{2}} $:
Resposta
O valor máximo de $ f $ é $ 28 $ e o valor mínimo é $ -28 $.