Encontre os pontos críticos e determine a natureza dos extremantes locais.
f(x, y)=x / y-y / x;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
f(x,y)=\frac{x}{y}-\frac{y}{x}
no domínio \{(x,y)\mid x\neq0,\;y\neq0\} e, em seguida, determinar a natureza (mínimo, máximo ou sela) desses pontos críticos.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f.
Para \partial f/\partial x:
\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr)=\frac1y, \qquad \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(-\frac{y}{x}\Bigr)=-\bigl(-\frac{y}{x^2}\bigr)=\frac{y}{x^2}.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac1y+\frac{y}{x^2} =\frac{x^2+y^2}{x^2\,y}.
Para \partial f/\partial y:
\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr)=-\frac{x}{y^2}, \qquad \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(-\frac{y}{x}\Bigr)=-\frac1x.
Portanto,
\frac{\partial f}{\partial y} =-\frac{x}{y^2}-\frac1x =-\frac{x^2+y^2}{x\,y^2}.

Passo 3

Pontos críticos ocorrem quando
\frac{\partial f}{\partial x}=0 \quad\text{e}\quad \frac{\partial f}{\partial y}=0.
Mas
\frac{\partial f}{\partial x}=0\;\Longrightarrow\;x^2+y^2=0,
o que só ocorre em (0,0), que não pertence ao domínio x\neq0,y\neq0. Analogamente para \partial f/\partial y. Assim, não há soluções para as duas equações juntas no domínio dado.

Resposta

Não existem pontos críticos de f em \{(x,y)\mid x\neq0,\;y\neq0\}. Portanto, não há extremos locais.

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