Determine o máximo/mínimo da função:
f(x)=x^{3 / 5}(4-x)

Passo 1

O enunciado pede para determinar os extremos da função
f(x)=x^{3/5}(4-x),
cujo domínio é \mathbb{R} (pois a raiz quinta de x é bem definida para todo x). Para achar máximos e mínimos vamos calcular f'(x), encontrar pontos críticos (onde f'=0 ou f' não existe) e usar o teste de sinal de f'.

Passo 2

Aplicando regra do produto e da potência em
f(x)=x^{3/5}(4-x)
temos
f'(x)=\frac{3}{5}\,x^{-2/5}(4-x)+x^{3/5}\cdot(-1).
Fatorando x^{-2/5} resulta
f'(x)=x^{-2/5}\Bigl(\tfrac{3}{5}(4-x)-x\Bigr) =x^{-2/5}\,\frac{12-8x}{5}.

Passo 3

Os pontos críticos vêm de f'(x)=0 ou de f' não existir.
  1. f'(x)=0 12-8x=0 x=\tfrac{12}{8}=\tfrac{3}{2}.
  2. f' não existe em x=0 (porque aparece x^{-2/5}), logo x=0 também é ponto crítico.

Passo 4

Para classificar, analisamos o sinal de f':
  • Para x<\tfrac{3}{2} e x\neq0, o fator 12-8x>0 e x^{-2/5}>0, logo f'>0.
  • Para x>\tfrac{3}{2}, 12-8x<0 mas x^{-2/5}>0, logo f'<0.
    Portanto em x=\tfrac{3}{2} a derivada muda de positiva para negativa, caracterizando um máximo local.
Em x=0 a derivada passa de negativa (à esquerda) para positiva (à direita), mas como f(0)=0 fica acima dos valores à esquerda e abaixo dos valores à direita, não é nem máximo nem mínimo local convencional.

Passo 5

Calculamos o valor da função no único extremo local:
f\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr) =\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^{3/5}\Bigl(4-\tfrac{3}{2}\Bigr) =\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^{3/5}\,\tfrac{5}{2}.
Quanto ao comportamento em infinito, para x\to\pm\infty tem-se f(x)\to-\infty, de modo que não há mínimo global finito.

Resposta

A função tem um único extremo:
máximo local (e global) em
x=\tfrac{3}{2}, \quad f\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr) =\tfrac{5}{2}\,\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^{3/5}.
Não há mínimo global f(x)\to-\infty conforme x\to\pm\infty e x=0 não é nem máximo nem mínimo local.

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