Determine o máximo/mínimo da função:
Passo 1
O enunciado pede para determinar os extremos da função
cujo domínio é
(pois a raiz quinta de
é bem definida para todo
). Para achar máximos e mínimos vamos calcular
, encontrar pontos críticos (onde
ou
não existe) e usar o teste de sinal de
.
Passo 2
Aplicando regra do produto e da potência em
temos
Fatorando
resulta
Passo 3
Os pontos críticos vêm de
ou de
não existir.
-
⇔ ⇔ -
não existe em (porque aparece ), logo também é ponto crítico.
Passo 4
Para classificar, analisamos o sinal de
:
- Para
e , o fator e , logo . - Para
, mas , logo .
Portanto ema derivada muda de positiva para negativa, caracterizando um máximo local.
Em
a derivada passa de negativa (à esquerda) para positiva (à direita), mas como
fica acima dos valores à esquerda e abaixo dos valores à direita, não é nem máximo nem mínimo local convencional.
Passo 5
Calculamos o valor da função no único extremo local:
Quanto ao comportamento em infinito, para
tem-se
, de modo que não há mínimo global finito.
Resposta
A função tem um único extremo:
máximo local (e global) em
máximo local (e global) em
Não há mínimo global
conforme
e
não é nem máximo nem mínimo local.