Determine o máximo e o mínimo da função:
f(x)=12 x^{5}-45 x^{4}+40 x^{3}+5

Passo 1

O enunciado pede para achar os extremos locais da função
f(x)=12x^{5}-45x^{4}+40x^{3}+5
Conteúdo: cálculo de derivada, pontos críticos e análise de sinal para classificação de máximos e mínimos.

Passo 2

Começamos calculando a derivada. Usando regras de potência:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(12x^{5}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(45x^{4}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(40x^{3}\bigr) =60x^{4}-180x^{3}+120x^{2}.
Fatorando em evidência comum e trinomial quadrático:
f'(x)=60x^{2}(x^{2}-3x+2)=60x^{2}(x-1)(x-2).

Passo 3

Os pontos críticos são soluções de f'(x)=0:
60x^{2}(x-1)(x-2)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0\\ (\text{multiplicidade }2),\;x=1,\;x=2.

Passo 4

Analisamos o sinal de f'(x) em cada intervalo:
  • Para x<0: x^{2}>0, (x-1)<0, (x-2)<0 ⇒ produto positivo ⇒ f'>0.
  • Entre 0 e 1: mesmos sinais ⇒ f'>0.
  • Entre 1 e 2: x^{2}>0, (x-1)>0, (x-2)<0 f'<0.
  • Para x>2: todos fatores positivos ⇒ f'>0.
Logo: em x=1 a derivada muda de positiva para negativa ⇒ máximo local.
Em x=2 muda de negativa para positiva ⇒ mínimo local.
Em x=0 não há troca de sinal ⇒ ponto de inflexão horizontal.

Passo 5

Calculamos os valores de f nesses pontos:
f(1)=12\cdot1^{5}-45\cdot1^{4}+40\cdot1^{3}+5=12-45+40+5=12,
f(2)=12\cdot2^{5}-45\cdot2^{4}+40\cdot2^{3}+5 =384-720+320+5=-11.

Resposta

Máximo local em x=1 com f(1)=12.
Mínimo local em x=2 com f(2)=-11.

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