Considere a seguinte função de produção P(x, y)=2 x^{0.5} y^{0.5}, onde P é a quantidade colhida de um produto (em toneladas), x é o número de homens-hora empregados (em milhares) e y é o número de hectares plantados. Calcule:
a) A produtividade marginal do trabalho \frac{\partial P}{\partial x}
b) A produtividade marginal da terra \frac{\partial P}{\partial y}
c) \frac{\partial P}{\partial x} em (1,4) e \frac{\partial P}{\partial y} em (1,4). Qual a interpretação desses resultados?

Passo 1

O enunciado traz a produção
P(x,y)=2\,x^{0.5}y^{0.5}
e pede as produtividades marginais, ou seja, as derivadas parciais \partial P/\partial x e \partial P/\partial y, e depois o valor dessas derivadas em (x,y)=(1,4) com interpretação. Vamos usar a regra de potência na diferenciação.

Passo 2

Para obter \partial P/\partial x, tratamos y como constante e aplicamos
\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2\,x^{0.5}y^{0.5}\bigr) = 2\,y^{0.5}\,\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{0.5}\bigr) = 2\,y^{0.5}\,(0.5\,x^{-0.5}) = x^{-0.5}\,y^{0.5}.

Passo 3

Para obter \partial P/\partial y, tratamos x como constante e aplicamos
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2\,x^{0.5}y^{0.5}\bigr) = 2\,x^{0.5}\,\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{0.5}\bigr) = 2\,x^{0.5}\,(0.5\,y^{-0.5}) = x^{0.5}\,y^{-0.5}.

Passo 4

Substituindo (x,y)=(1,4) nas derivadas:
\frac{\partial P}{\partial x}(1,4) = 1^{-0.5}\,4^{0.5} = 1\cdot 2 = 2,
\frac{\partial P}{\partial y}(1,4) = 1^{0.5}\,4^{-0.5} = 1\cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2}.

Passo 5

Interpretação: em (1,4), aumentar x em uma unidade (isto é, mais 1 mil homens-hora) eleva a colheita em 2 toneladas. Aumentar y em uma unidade (mais 1 hectare) eleva a colheita em 0,5 tonelada, mantendo o outro insumo fixo.

Resposta

a) \displaystyle \frac{\partial P}{\partial x}=x^{-0.5}\,y^{0.5}.
b) \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=x^{0.5}\,y^{-0.5}.
c) \displaystyle \frac{\partial P}{\partial x}(1,4)=2,\quad \frac{\partial P}{\partial y}(1,4)=\tfrac{1}{2}. Isso significa que, naquele ponto, cada mil homens-hora adicionais gera mais 2 toneladas, e cada hectare adicional gera mais 0,5 tonelada.

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