Determine o máximo e o mínimo de
no conjunto
dado:
no conjunto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o máximo e o mínimo da função $ g(x, y) = (2x - x^2)(2y - y^2) $ no conjunto $ D $, que é definido por $ 0 \leq y \leq 2(2x - x^2) $. Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especialmente derivadas parciais, para achar os pontos críticos, além de analisar o comportamento da função nas bordas do conjunto $ D $.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função $ g(x, y) $ dentro do conjunto $ D $. Pontos críticos acontecem onde as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero.
Calculando a derivada parcial em relação a $ x $:
Calculando a derivada parcial em relação a $ y $:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas a zero:
Passo 3
Vamos resolver as equações $ (2 - 2x)(2y - y^2) = 0 $ e $ (2x - x^2)(2 - 2y) = 0 $.
Para a primeira equação:
ou
Para a segunda equação:
ou
Agora, vamos combinar as soluções:
-
Se $ x = 1 $, então da segunda equação $ (2x - x^2)(2 - 2y) = (2 - 1)(2 - 2y) = (1)(2 - 2y) = 0 \Rightarrow 2 - 2y = 0 \Rightarrow y = 1 $. Então, temos o ponto crítico $ (1, 1) $.
-
Se $ y = 0 $ ou $ y = 2 $, vamos verificar se existem valores de $ x $ que satisfazem ambas as equações:
- Para $ y = 0 $, da segunda equação $ (2x - x^2)(2 - 0) = 2(2x - x^2) = 0 \Rightarrow 2x - x^2 = 0 \Rightarrow x = 0 ou x = 2 $. Mas precisamos verificar se esses pontos estão no conjunto $ D $.
- Para $ y = 2 $, da definição de $ D $, $ y \leq 2(2x - x^2) $. Vamos analisar depois.
-
Se $ x = 0 $ ou $ x = 2 $, e se $ y = 1 $, precisamos verificar se esses pontos estão no conjunto $ D $.
Então, os possíveis pontos críticos são $ (1, 1) $, $ (0, 0) $, e $ (2, 0) $.
Passo 4
Agora, vamos analisar se esses pontos estão dentro do conjunto $ D $.
Para $ (1, 1) $:
Para $ (0, 0) $:
Para $ (2, 0) $:
Portanto, todos os pontos são válidos dentro de $ D $.
Passo 5
Vamos calcular o valor de $ g(x, y) $ nesses pontos críticos:
- Em $ (1, 1) $:
- Em $ (0, 0) $:
- Em $ (2, 0) $:
Passo 6
Além dos pontos críticos, precisamos analisar os valores da função na borda do conjunto $ D $. A borda é definida por $ y = 0 $ e $ y = 2(2x - x^2) $.
Já calculamos para $ y = 0 $, que nos dá $ g = 0 $.
Agora, para $ y = 2(2x - x^2) $, substituímos na função $ g(x, y) $:
Isso pode ficar bem complexo, mas observando a definição de $ D $, vemos que os pontos $ (0,0) $ e $ (2,0) $ já pertencem à borda, e esses já foram avaliados.
Não há outros pontos adicionais na borda que precisamos considerar além dos pontos críticos já avaliados.
Passo 7
Comparando todos os valores encontrados:
- $ g(1, 1) = 1 $
- $ g(0, 0) = 0 $
- $ g(2, 0) = 0 $
O maior valor é 1 e o menor é 0.
Resposta
O máximo de $ g $ no conjunto $ D $ é igual a 1, atingido no ponto $ (1, 1) $, e o mínimo é igual a 0, atingido nos pontos $ (0, 0) $ e $ (2, 0) $.