Use o teste da derivada segunda para classificar os pontos críticos das funções
f(x, y)=x^2-4 x y+3 y^2+8 x-12 y

Passo 1

Beleza, então temos um exercício de cálculo multivariável. A gente precisa usar o teste da derivada segunda pra classificar os pontos críticos da função $ f(x, y) = x^{2} - 4xy + 3y^{2} + 8x - 12y $. Basicamente, isso vai nos ajudar a entender se os pontos críticos são máximos, mínimos ou pontos de sela. Vamos precisar calcular as derivadas parciais, achar os pontos críticos e depois aplicar o teste da derivada segunda com as segundas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero.
Calculando as derivadas parciais:
x
y
Temos que resolver o sistema:
fx = partial fpartial x = 2x - 4y + 8

Passo 3

Vamos simplificar o sistema de equações:
Primeira equação:
2x - 4y + 8 = 0 Rightarrow x - 2y + 4 = 0 Rightarrow x = 2y - 4
Agora, substituímos $ x = 2y - 4 $ na segunda equação:
x = 2y - 4
Substituindo $ y = 2 $ na expressão $ x = 2y - 4 $:
-4(2y - 4) + 6y - 12 = 0 -8y + 16 + 6y - 12 = 0 -2y + 4 = 0 -2y = -4 y = 2
Então, o ponto crítico é $ (0, 2) $.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o teste da derivada segunda para classificar esse ponto crítico. Primeiro, precisamos calcular as segundas derivadas parciais.
Calculando as segundas derivadas:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 2
fxy = partial^2 fpartial x partial y = -4
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 6

Passo 5

Com as segundas derivadas, calculamos o determinante da matriz Hessiana (D):
D = fxx cdot fyy - (fxy)^2 = (2)(6) - (-4)^2 = 12 - 16 = -4

Passo 6

Interpretando o valor de $ D $:
  • Se $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $: mínimo local.
  • Se $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $: máximo local.
  • Se $ D < 0 $: ponto de sela.
  • Se $ D = 0 $: teste inconclusivo.
Aqui, $ D = -4 < 0 $, então o ponto crítico $ (0, 2) $ é um ponto de sela.

Resposta

O ponto crítico $ (0, 2) $ é um ponto de sela da função $ f(x, y) = x^{2} - 4xy + 3y^{2} + 8x - 12y $.

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