Use o teste da derivada segunda para classificar os pontos críticos das funções
Passo 1
Beleza, então temos um exercício de cálculo multivariável. A gente precisa usar o teste da derivada segunda pra classificar os pontos críticos da função $ f(x, y) = x^{2} - 4xy + 3y^{2} + 8x - 12y $. Basicamente, isso vai nos ajudar a entender se os pontos críticos são máximos, mínimos ou pontos de sela. Vamos precisar calcular as derivadas parciais, achar os pontos críticos e depois aplicar o teste da derivada segunda com as segundas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero.
Calculando as derivadas parciais:
Temos que resolver o sistema:
Passo 3
Vamos simplificar o sistema de equações:
Primeira equação:
Agora, substituímos $ x = 2y - 4 $ na segunda equação:
Substituindo $ y = 2 $ na expressão $ x = 2y - 4 $:
Então, o ponto crítico é $ (0, 2) $.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o teste da derivada segunda para classificar esse ponto crítico. Primeiro, precisamos calcular as segundas derivadas parciais.
Calculando as segundas derivadas:
Passo 5
Com as segundas derivadas, calculamos o determinante da matriz Hessiana (D):
Passo 6
Interpretando o valor de $ D $:
- Se $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $: mínimo local.
- Se $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $: máximo local.
- Se $ D < 0 $: ponto de sela.
- Se $ D = 0 $: teste inconclusivo.
Aqui, $ D = -4 < 0 $, então o ponto crítico $ (0, 2) $ é um ponto de sela.
Resposta
O ponto crítico $ (0, 2) $ é um ponto de sela da função $ f(x, y) = x^{2} - 4xy + 3y^{2} + 8x - 12y $.