(a) Explique porque a função
do item (i) é uma solução da equação diferencial do item (ii):
(i)
(ii)
Veja a sugestão da questão anterior, e estenda aquelas perguntas até a derivada de segunda ordem.
(i)
(ii)
Veja a sugestão da questão anterior, e estenda aquelas perguntas até a derivada de segunda ordem.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função definida pela série de potências
satisfaz a equação diferencial
O conteúdo aqui é equação diferencial ordinária de segunda ordem e manipulação de séries de potências: vamos precisar usar a derivação termo a termo e reindexar somatórios para comparar termos.
Passo 2
Como a série de potências converge para todo
, podemos derivar termo a termo sem medo. Primeiro, calculemos
:
Reindexando com
, temos
Passo 3
Agora derivamos de novo para achar
:
Mas note que
logo
Passo 4
Com isso fica claro que
o que mostra exatamente que
satisfaz a equação
.
Resposta
Mostramos que derivando a série termo a termo dá
, logo
e, por isso,
é solução da equação diferencial.