(a) Explique porque a função f(x) do item (i) é uma solução da equação diferencial do item (ii):
(i) f(x)=sumn=0^infty (-1)^n x^2 n(2 n)!
(ii) y^prime prime(x)+y(x)=0
Veja a sugestão da questão anterior, e estenda aquelas perguntas até a derivada de segunda ordem.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função definida pela série de potências
f(x)=sumn=0^infty (-1)^n x^2n(2n)!
satisfaz a equação diferencial
y''(x)+y(x)=0
O conteúdo aqui é equação diferencial ordinária de segunda ordem e manipulação de séries de potências: vamos precisar usar a derivação termo a termo e reindexar somatórios para comparar termos.

Passo 2

Como a série de potências converge para todo x, podemos derivar termo a termo sem medo. Primeiro, calculemos f'(x):
f'(x)=sumn=1^infty ddxl((-1)^n x^2n(2n)!r) =sumn=1^infty (-1)^n,2n,x^2n-1(2n)! =sumn=1^infty (-1)^n x^2n-1(2n-1)!
Reindexando com m=n-1, temos
f'(x)= -summ=0^infty (-1)^m x^2m+1(2m+1)!

Passo 3

Agora derivamos de novo para achar f''(x):
f''(x)= -summ=0^infty (-1)^m (2m+1) x^2m(2m+1)! = -summ=0^infty (-1)^m x^2m(2m)!
Mas note que
summ=0^infty (-1)^m x^2m(2m)!=f(x),
logo
f''(x)=-f(x)

Passo 4

Com isso fica claro que
f''(x)+f(x)=-f(x)+f(x)=0,
o que mostra exatamente que f(x) satisfaz a equação y''+y=0.

Resposta

Mostramos que derivando a série termo a termo dá f''(x)=-f(x), logo f''(x)+f(x)=0 e, por isso, f(x) é solução da equação diferencial.

Exercícios relacionados