Determine o máximo de separação de um feixe de átomos de Hidrogênio, os quais se movem uma distância de
e com uma velocidade de
perpendicularmente com um campo magnético que tem um gradiente de
. Despreciar o momento magnético do próton.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir qual é a máxima separação que um feixe de átomos de Hidrogênio vai ter quando passa por um campo magnético com um gradiente específico. Aqui, estamos lidando com Eletromagnetismo, especificamente com a força magnética que atua sobre partículas carregadas em movimento. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de força magnética em campos com gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter um campo magnético com gradiente. Um gradiente de campo magnético, representado por
, significa que a intensidade do campo magnético está mudando no espaço. Quando partículas carregadas, como os átomos de Hidrogênio, se movem perpendicularmente a esse campo, elas experimentam uma força que pode desviar o caminho delas, causando a separação do feixe.
Passo 3
A força magnética
que atua sobre uma partícula carregada em movimento em um campo magnético com gradiente é dada por:
Aqui,
é o momento magnético da partícula. Mas o enunciado pede para a gente desprezar o momento magnético do próton, então precisamos considerar a força resultante devido ao gradiente do campo magnético.
Passo 4
Como a velocidade
dos átomos é perpendicular ao campo magnético, a força que eles experimentam vai desviar o feixe. Essa força causa uma aceleração que resulta na separação máxima após percorrerem a distância de 20 cm. Vamos usar a segunda lei de Newton:
Onde
é a massa do átomo de Hidrogênio e
é a aceleração.
Passo 5
Sabemos que a força também está relacionada ao gradiente do campo magnético:
Igualando as duas expressões para
:
Então, a aceleração
é:
Passo 6
Agora, para encontrar a separação máxima
, podemos usar a equação do movimento com aceleração constante:
Onde
é o tempo que os átomos levam para percorrer os 20 cm.
Passo 7
Vamos calcular o tempo
. Sabemos que a distância
é 20 cm (0,2 m) e a velocidade
é
. O tempo é dado por:
Passo 8
Substituindo o tempo
na equação da separação:
Agora, precisamos identificar o valor de
. Para um átomo de Hidrogênio neutro, o momento magnético pode ser relacionado ao momento angular devido à rotação do elétron, mas como o enunciado pede para desprezar o momento magnético do próton e não dá mais informações, podemos considerar
como sendo zero para simplificar. Porém, isso resultaria em
, o que não faz sentido. Portanto, devemos considerar que há um momento magnético efetivo devido ao movimento do elétron.
Passo 9
Considerando que o momento magnético
está relacionado ao momento angular
do elétron, temos:
Onde
é a carga do elétron,
é a constante de Planck reduzida, e
é a massa do elétron. Substituindo esses valores na equação da separação.
Passo 10
Finalmente, substituindo todos os valores conhecidos na equação da separação, calculamos
:
Após inserir os números e fazer as contas, obtemos a máxima separação do feixe de átomos de Hidrogênio.
Resposta
A máxima separação do feixe de átomos de Hidrogênio é de aproximadamente
. (Nota: Os valores numéricos exatos dependem dos parâmetros específicos utilizados para
e
.)