Mostrar que na presença de acoplamento S L (spinórbita), o número quântico de momento angular tem valores dados por: j=l+s, l+s-1, l+s- 2, ldots ldots ,|l-s|

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, quando temos o acoplamento spin-órbita ( S cdot L), o número quântico de momento angular ( j) pode assumir valores que vão de j = l + s até j = |l - s|, diminuindo de um em um. Para resolver isso, vamos precisar entender como combinar os momentos angulares orbital ( l) e de spin ( s) para encontrar os possíveis valores de j.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento angular total J é a soma do momento angular orbital L e do momento angular de spin S:
J = L + S
Quando combinamos dois momentos angulares, os possíveis valores do número quântico total j são determinados pela regra de adição dos momentos angulares.

Passo 3

A regra de adição dos momentos angulares diz que o valor máximo de j é a soma dos valores individuais dos momentos angulares, e o valor mínimo é o valor absoluto da diferença entre eles. Além disso, os valores intermediários diminuem de um em um. Matemáticamente, isso fica assim:
j = l + s, l + s - 1, l + s - 2, ldots, |l - s|

Passo 4

Para ilustrar isso, vamos considerar exemplos específicos. Suponha que temos l = 1 e s = 12. Aplicando a regra:
j = 1 + 12 = 32
j = 1 - 12 = 12
Então, os possíveis valores de j são 32 e 12.

Passo 5

Outro exemplo: se l = 2 e s = 1, então:
j = 2 + 1 = 3
j = 2 + 1 - 1 = 2
j = |2 - 1| = 1
Então, os possíveis valores de j são 3, 2 e 1.

Passo 6

Esses exemplos mostram que, de fato, os valores de j começam em l + s e vão diminuindo de um em um até chegar em |l - s|. Isso se deve ao fato de que, ao combinar os momentos angulares, os pontos mais alinhados dão o valor máximo, e os mais opostos dão o valor mínimo.

Passo 7

Voltando ao exercício original, o acoplamento spin-órbita S cdot L faz com que os momentos angulares L e S interajam e se combinem para formar o momento angular total J. A regra de adição que aplicamos acima é exatamente o que determina os possíveis valores de j nessa situação.

Resposta

Portanto, demonstramos que na presença de acoplamento spin-órbita S cdot L, o número quântico de momento angular j pode assumir os valores j = l + s, l + s - 1, l + s - 2, ldots, |l - s|, conforme solicitado.

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