Encontre o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
(\mathrm{e}) * \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\operatorname{sen}\left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\operatorname{sen}\!\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)}{x^{2}+y^{2}}.
Informações dadas:
  • A função envolvida é \dfrac{\operatorname{sen}\!\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)}{x^{2}+y^{2}}.
  • O ponto de interesse é (x,y)=(0,0).
  • Observe que a expressão não está definida em (0,0) (divisão por zero), mas o limite pode existir quando (x,y) se aproxima de (0,0).

Passo 2

Vamos simplificar a notação definindo a quantidade
t := x^{2}+y^{2}.
Note que t\ge 0 para todo (x,y) e que, quando (x,y)\to(0,0), temos t\to 0. Assim a expressão fica
\frac{\operatorname{sen}\!\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)}{x^{2}+y^{2}} = \frac{\operatorname{sen}(t)}{t}.
Portanto o limite em duas variáveis reduz-se ao limite unidimensional
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\operatorname{sen}\!\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)}{x^{2}+y^{2}} = \lim_{t\to 0^{+}} \frac{\operatorname{sen}(t)}{t}.
(Usamos t\to0^{+} porque t=x^{2}+y^{2} é sempre não negativo; mas o limite bilateral \lim_{u\to 0}\dfrac{\sin u}{u} existe e vale o mesmo.)

Passo 3

Agora precisamos do limite fundamental de uma variável
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}.
Vou provar esse limite rapidamente usando a desigualdade trigonométrica clássica (muito útil na prova): para 0<u<\tfrac{\pi}{2} vale
\sin u < u < \tan u.
Da desigualdade u<\tan u obtemos u\cos u < \sin u, isto é
\cos u < \frac{\sin u}{u}.
Da desigualdade \sin u < u obtemos
\frac{\sin u}{u} < 1.
Juntando as duas desigualdades para 0<u<\tfrac{\pi}{2} temos
\cos u < \frac{\sin u}{u} < 1.
Como \displaystyle\lim_{u\to 0}\cos u = 1, pelo teorema do confronto (squeeze theorem) concluímos
\lim_{u\to 0^{+}} \frac{\sin u}{u} = 1.
Para u<0 a função \dfrac{\sin u}{u} é par (porque \sin(-u)=-\sin u), então o limite pela esquerda também é 1. Portanto
\lim_{u\to 0} \frac{\sin u}{u} = 1.

Passo 4

Voltando à nossa variável t: como \lim_{u\to 0}\dfrac{\sin u}{u}=1, temos em particular
\lim_{t\to 0^{+}} \frac{\sin t}{t} = 1.
Como já mostramos que o limite em duas variáveis é exatamente esse limite em t, segue que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\operatorname{sen}\!\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)}{x^{2}+y^{2}} = 1.

Passo 5

Comentário final e intuição: a razão é que a função depende só de x^{2}+y^{2} (é radial), então qualquer caminho que leve (x,y) a (0,0) faz t=x^{2}+y^{2} tender a 0, e a expressão se comporta como a conhecida quantidade unidimensional \dfrac{\sin t}{t} cujo limite é 1. Assim o limite existe e é independente do caminho.

Resposta

1

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