Encontre o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
- A função envolvida é
. - O ponto de interesse é
. - Observe que a expressão não está definida em
(divisão por zero), mas o limite pode existir quando se aproxima de .
Passo 2
Vamos simplificar a notação definindo a quantidade
Note que
para todo
e que, quando
, temos
. Assim a expressão fica
Portanto o limite em duas variáveis reduz-se ao limite unidimensional
(Usamos
porque
é sempre não negativo; mas o limite bilateral
existe e vale o mesmo.)
Passo 3
Agora precisamos do limite fundamental de uma variável
Vou provar esse limite rapidamente usando a desigualdade trigonométrica clássica (muito útil na prova): para
vale
Da desigualdade
obtemos
, isto é
Da desigualdade
obtemos
Juntando as duas desigualdades para
temos
Como
, pelo teorema do confronto (squeeze theorem) concluímos
Para
a função
é par (porque
), então o limite pela esquerda também é
. Portanto
Passo 4
Voltando à nossa variável
: como
, temos em particular
Como já mostramos que o limite em duas variáveis é exatamente esse limite em
, segue que
Passo 5
Comentário final e intuição: a razão é que a função depende só de
(é radial), então qualquer caminho que leve
a
faz
tender a
, e a expressão se comporta como a conhecida quantidade unidimensional
cujo limite é
. Assim o limite existe e é independente do caminho.